Question

3．如圖所示，長s=2.25m的粗糙水平面MN右端N處與水平傳送帶恰好平齊且很靠近，傳送帶以速率v=1m/s逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水平部分長度L=1m．水平面MN左端與一光滑的半徑為R=1.25m的$\frac{1}{4}$圓弧軌道在M處平滑連接，物塊B靜止在水平面的最右端N處，質(zhì)量為m_A=1kg的物塊在與圓心等高處由靜止下滑，滑過MN段后與B發(fā)生碰撞并粘在一起，若B的質(zhì)量是A的k倍，A、B與水平面和傳送帶的動摩擦因數(shù)都為μ=0.2，物塊均可視為質(zhì)點，取g=10m/s²．
（1）求A到達N點與B碰撞前的速度大��；
（2）求碰撞后瞬間A與B的速度大��；
（3）討論K在不同數(shù)值范圍時，A、B碰撞后傳送帶對它們所做的功W的表達式．

Answer 1

分析 （1）由動能定理可以求出A到達N時的速度．
（2）A、B碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律可以求出速度．
（3）應用動能定理可以求出表達式．

解答 解：（1）A從靜止運動到N點過程，由動能定理得：
m_AgR-μm_Ags=$\frac{1}{2}$m_Av₁²-0，代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s；
（2）設碰撞后A、B速度為υ₂，以向右為正方向，A與B發(fā)生碰撞并粘在一起，
由動量守恒定律得：m_Aυ₁=（m_A+m_B）υ₂，代入數(shù)據(jù)解得：v₂=$\frac{4}{k+1}$m/s；
（3）①如果AB能從傳送帶右端離開，必須滿足：
$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v₂²＞μ（m_A+m_B）gL，解得：k＜1，
傳送帶對它們所做的功為：W=-μ（m_A+m_B）gL=-2（k+1），
②當υ₂≤υ時有：k≥3
即AB返回到傳送帶左端時速度仍為υ₂
故這個過程傳送帶對AB所做的功為：W=0     
③當1≤k＜3時，AB沿傳送帶向右減速到速度為零，再向左加速，
當速度與傳送帶速度相等時與傳送帶一起勻速運動到傳送帶的左端，
在這個過程中傳送帶對AB所做的功為：W=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v²-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v₂²，
解得：W=$\frac{{k}^{2}+2k-15}{2（k+1）}$；
答：（1）A到達N點與B碰撞前的速度大小是4m/；
（2）碰撞后瞬間A與B的速度大小是$\frac{4}{k+1}$m/s；
（3）①當k＜1，W=-μ（m_A+m_B）gL=-2（k+1）．②當k≥3，W=0；③當1≤k＜3時，$\frac{{k}^{2}+2k-15}{2（k+1）}$．

點評 本題考查了求物體的速度、求功，該題難度較大，是一道難題，分析清楚物體運動過程，應用動能定理、動量守恒定律即可正確解題，解題時要正確分析題目當中的臨界條件．