Question

10．如圖所示，光滑半圓軌道豎直放置，半徑為R，一水平軌道與圓軌道相切，在水平光滑軌道上停著一個(gè)質(zhì)量為M=0.99kg的木塊，一顆質(zhì)量為m=0.01kg的子彈，以v₀=400m/s的水平速度射入木塊中，然后一起運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)水平拋出（g取10m/s²），求：
（1）子彈射入木塊后的速度
（2）子彈射入木塊過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能
（3）當(dāng)圓軌道半徑R多大時(shí)，平拋的水平距離最大？最大距離是多少？

Answer 1

分析 （1）子彈射入木塊的過(guò)程中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出子彈射入木塊后的速度．
（2）根據(jù)能量守恒求出子彈射入木塊過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的速度，結(jié)合高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出水平距離的表達(dá)式，通過(guò)二次函數(shù)求極值的方法求出水平距離最大時(shí)R的大�。�

解答 解：（1）對(duì)子彈和木塊應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，規(guī)定子彈的方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律有：mv₀=（m+M）v₁
代入數(shù)據(jù)解得v₁=4m/s
（2）子彈與木塊作用的過(guò)程中，產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量，有：$Q=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}（m+m）{v_1}^2$
代入數(shù)據(jù)解得Q=792J
取水平面為零勢(shì)能面，設(shè)木塊到最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，有$\frac{1}{2}（m+M）{v_1}^2=\frac{1}{2}（m+M）v_2^2+（m+M）g•2R$
所以${v_2}=\sqrt{16-40R}$
由運(yùn)動(dòng)的分解知：$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
S=v₂t
解得$S=4×\sqrt{\frac{{-10{R^2}+4R}}{10}}$
當(dāng)R=0.2m時(shí)水平距離最大，最大值S_max=0.8m．
答：（1）子彈射入木塊后的速度為4m/s；
（2）子彈射入木塊過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能為792J
（3）當(dāng)圓軌道半徑R為0.2m時(shí)，平拋的水平距離最大，最大距離是0.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，對(duì)于第三問(wèn)，與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系比較緊密，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．