Question

如圖所示，有三個(gè)寬度均相等的區(qū)域I、Ⅱ、Ⅲ；在區(qū)域I和Ⅲ內(nèi)分別為方向垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（虛線為磁場(chǎng)邊界面，并不表示障礙物），區(qū)域I磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，某種帶正電的粒子，從孔O₁以大小不同的速度沿圖示與aa′夾角α=30⁰的方向進(jìn)入磁場(chǎng)（不計(jì)重力）．已知速度為v₀和2v₀時(shí)，粒子僅在區(qū)域I內(nèi)運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，均為t₀．
（1）試求出粒子的比荷

q

m

、速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離L；
（2）若速度為v的粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)時(shí)間為

t0

5

，在圖中區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，O₁O₂下方對(duì)稱加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小相等，使速度為v的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點(diǎn)，則請(qǐng)求出所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小與區(qū)域Ⅲ磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�

Answer 1

分析：（1）速度為υ_o和2υ_o時(shí)粒子在區(qū)域I內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角相同，故只能在區(qū)域I中運(yùn)動(dòng)，故其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為300°=

5

3

π，根據(jù)周期公式通過運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出粒子的比荷．根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出速度為2v₀的粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離L．
（2）度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點(diǎn)，根據(jù)要求作出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的周期性求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)180°出磁場(chǎng)，根據(jù)半徑的大小關(guān)系求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有：qvB=m

v2

R

，解得：R=

mv

qB

，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πR

v

可得粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πm

qB

由題意可得速度為v₀和2v₀的粒子均由區(qū)域I左側(cè)aa?出磁場(chǎng)
則粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為

5

3

π 
故t0=

5

6

T 
解得：

q

m

=

5π

3Bt0

對(duì)速度為2v₀的粒子在區(qū)域I運(yùn)動(dòng)：
洛倫茲力提供向心力Bq(2v0)=m

(2v0)2

r

r=

2mv0

Bq

=

6v0t0

5π

由幾何關(guān)系可得L=r=

6v0t0

5π

（2）當(dāng)速度為v時(shí)，t1=

t0

5

，圓心角θ=60°
洛倫茲力提供向心力Bqv=m

v2

R

所以R=

mv

Bq

=

3vt0

5π

根據(jù)幾何關(guān)系d=Rsin60°=

3 3 vt0

10π

在豎直方向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，位移

R

2

=

Eq

2m

t2
水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移x=vt  
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性及周期性知：2x+4nx=d          （n=0、1、2、3…） 
解得E=

16

3

Bv(2n+1)2
在區(qū)域中：帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′=

R

2

即

mv

B′q

=

mv

2Bq

     
所以：B′=2B
答：（1）求出粒子的比荷為

5π

3Bt0

，速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時(shí)的位置離O₁的距離L為

6v0t0

5π

．
（2）所加電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為

16

3

Bv(2n+1)2，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是整個(gè)高中的重點(diǎn)，也是高考的必考的內(nèi)容，粒子的運(yùn)動(dòng)過程的分析是解題的關(guān)鍵．