Question

8．一組太空人乘坐穿梭機(jī)，前往修理位于離地球表面H的圓形軌道a上的哈勃望遠(yuǎn)鏡W，機(jī)組人員使穿梭機(jī)S進(jìn)入與望遠(yuǎn)鏡相同的軌道并關(guān)閉推進(jìn)火箭，而望遠(yuǎn)鏡則在穿梭機(jī)前方數(shù)公里處，如圖所示．已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，穿梭機(jī)質(zhì)量為m，則
（1）在穿梭機(jī)內(nèi)相對于穿梭機(jī)靜止的一質(zhì)量為m₀的太空人對其座椅的壓力是多少？
（2）試求穿梭機(jī)在軌道a的速率v_a
（3）已知萬有引力做功與路徑無關(guān)，所以可以引進(jìn)引力勢能，若取無窮遠(yuǎn)為引力勢能的零點(diǎn)，則引力勢能的公式為E_p=$\frac{GMm}{r}$，式中G為萬有引力恒量，M為地球質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量，r為物體與地心的距離．穿梭機(jī)首先螺旋進(jìn)入離地面高h(yuǎn)的較低軌道b，才有較大的角速度以趕上望遠(yuǎn)鏡W．試計(jì)算穿梭機(jī)由軌道a進(jìn)入軌道b時克服反推火箭的阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力可明確人受到的座椅的作用；
（2）由萬有引力充當(dāng)向心力可求出速度大小；
（3）火箭要實(shí)現(xiàn)變軌應(yīng)先減速，然后再由機(jī)械能守恒定律可求得減速后的速度，再由動能定理求出減速過程克服火箭的阻力所做的功．

解答 解：（1）人受到的萬有引力充當(dāng)向心力；故人處于完全失重狀態(tài)，對座椅沒有壓力；
（2）由萬有引力公式可得：
$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{（R+H）}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$；
（3）由
$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{（R+H）}$可知：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}×$$\frac{GMm}{R+H}$
由題意可知，由a到b過程，萬有引力做功為：$\frac{GMm}{R+h}$-$\frac{GMm}{R+H}$
則對下落過程可知，由動能定理可知：$\frac{GMm}{R+h}$-$\frac{GMm}{R+H}$=$\frac{1}{2}$mv_b²-$\frac{1}{2}$mv²
變軌前飛船要減速，對減速過程有：
W_f=$\frac{1}{2}$mv_a²-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：W_f=$\frac{GMm}{2（R+h）}$-$\frac{GMm}{2（R+H）}$
答：（1）在穿梭機(jī)內(nèi)相對于穿梭機(jī)靜止的一質(zhì)量為m₀的太空人對其座椅的壓力是0；
（2）試求穿梭機(jī)在軌道a的速率v_a為$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$
（3）穿梭機(jī)由軌道a進(jìn)入軌道b時克服反推火箭的阻力所做的功為$\frac{GMm}{2（R+h）}$-$\frac{GMm}{2（R+H）}$

點(diǎn)評 本題考查向心力及衛(wèi)星變軌問題，要明確火箭在降低軌道的過程中應(yīng)先減速，再降低軌道．