Question

14．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內(nèi)與光滑水平軌道AC相切于C點，水平軌道AC上有一輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與軌道最低點C的距離為4R．現(xiàn)用一個小球?qū)�彈簧壓縮（不栓接），當(dāng)彈簧的彈性勢能為E_p1時，將小球由靜止釋放，小球在運動過程中恰好通過半圓形軌道的最高點E，之后再次從B點用該小球壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的彈性勢能為E_p2時，將小球由靜止釋放，小球經(jīng)過BCDE軌道拋出后恰好落在B點，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，求彈性勢能E_p1與E_p2之比．

Answer 1

分析 第一次壓縮量為l時，小球恰好通過E點，在E點，由重力充當(dāng)向心力，可求得E點的速度，由機械能守恒定律表示出壓縮時彈簧的彈性勢能．
第二次壓縮時，小球離開E點做平拋運動，由分運動的規(guī)律求出小球通過E點的速度，再由機械能守恒定律出壓縮時彈簧的彈性勢能．再求彈性勢能E_p1與E_p2之比．

解答 解：釋放小球后彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能，設(shè)小球離開彈簧時速度為v₁，由機械能守恒定律得：
  E_p1=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
設(shè)小球在最高點E時的速度為v₂，由臨界條件可知：
  mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，v₂=$\sqrt{gR}$
由機械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
以上幾式聯(lián)立解得：E_p1=$\frac{5}{2}$mgR
第二次壓縮時彈簧的彈性勢能為E_p2
小球通過最高點E時的速度為v₃，由機械能守恒定律可得：
  E_p2=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
小球從E點開始做平拋運動，由平拋運動規(guī)律得：
4R=v₃t
2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₃=2$\sqrt{gR}$
聯(lián)立解得：E_p2=4mgR
則  E_P1：E_P2=5：8．
答：彈性勢能E_p1與E_p2之比是5：8．

點評 本題是機械能守恒定律、向心力與平拋運動的綜合應(yīng)用．利用機械能守恒定律的優(yōu)點在于不用分析物體運動過程的細(xì)節(jié)，只關(guān)心初末狀態(tài)即可，但要分析能量是如何轉(zhuǎn)化的．