Question

（08年四川卷）（20分）一傾角為θ＝45°的斜血固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m＝0.09kg的小物塊（視為質(zhì)點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g＝10 m/s²。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

解析：

解法一：

設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達(dá)斜面底端時速度為v。

由功能關(guān)系得

                                 ①

 

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

                                                      ②

 

設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為h’，則

                                 ③

 

同理，有

                                 ④

 

                                                     ⑤

式中，v’為小物塊再次到達(dá)斜面底端時的速度，I’為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得

                                                              ⑥

 

式中                                                 ⑦

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為

 

                                         ⑧

 

總沖量為 

                        ⑨

 

由                                    ⑩

 

得                              

 

代入數(shù)據(jù)得     N?s                         

 

解法二：

設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得

                                         ①

 

設(shè)小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則

 

                                                            ②

 

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為

                                                    ③

由①②③式得

                                       ④

 

設(shè)小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為a’， 依牛頓第二定律有

 

                                      ⑤

小物塊沿斜面向上運動的最大高度為

                                                      ⑥

 

由②⑤⑥式得                                        ⑦

 

式中                                              ⑧

同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量

 

                                         ⑨

 

由④⑦⑨式得                                             ⑩

 

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數(shù)，首項為

 

                                               

總沖量為                  

由                                              

 

得                                         

 

代入數(shù)據(jù)得     N?s