Question

如圖所示，靜放在水平面上的

3

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圓形（半徑為R）光滑管道ABC，C為最高點(diǎn)，B為最低點(diǎn)，管道在豎直面內(nèi)．管道內(nèi)放一小球，小球可在管道內(nèi)自由移動(dòng)，現(xiàn)用一裝置將小球鎖定在P點(diǎn)，過P點(diǎn)的半徑OP與豎直方向的夾角為θ．現(xiàn)對管道施加一水平向右的恒力F，同時(shí)解除對小球的鎖定，管道沿水平面向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，小球相對管道仍保持靜止．經(jīng)過一段時(shí)間后管道遇一障礙物突然停止運(yùn)動(dòng)，小球能到達(dá)管道的A點(diǎn)．重力加速度為g，小球大小及管道內(nèi)釋不計(jì)．求．
（1）恒力作用下圓形管道運(yùn)動(dòng)的加速度；
（2）圓形管道從開始運(yùn)動(dòng)到突然停止過程中運(yùn)動(dòng)距離的可能值．

Answer 1

分析：（1）對小球受力分析，由力的平行四邊表及牛頓第二定律可求得管道的加速度；
（2）當(dāng)管道停止時(shí)，小球沿半徑方向的速度為零，沿切線的方向速度不變；由運(yùn)動(dòng)的合成與分解求得徑向速度； 此后由機(jī)械能守恒定律及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得小球可能的運(yùn)動(dòng)距離．

解答：解：（1）小球受力如圖，由力的平行四邊形定則及牛頓第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得a=gtanθ；
即為恒力作用下的圓形管道運(yùn)動(dòng)的加速度；
（2）設(shè)圓形管道在運(yùn)動(dòng)過程中突然停止前進(jìn)的速度為v，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式得：v²=2as；
圓形管道停止時(shí)，小球沿管道半徑方向的速度變?yōu)榱�，沿切線方向的速度保持不變，對速度v沿切向和徑向進(jìn)行分解，則小球速度變?yōu)関′=vcosθ；
小球能運(yùn)動(dòng)到管道右側(cè)圓心上方至最高點(diǎn)C之間的區(qū)域則可返程到達(dá)A點(diǎn)，或從C點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)；
若小球能運(yùn)動(dòng)到管道右側(cè)圓心上方至最高點(diǎn)C之間的區(qū)域，則由機(jī)械能守恒得：

1

2

m（vcosθ）²=mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

若小球從C點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，則由機(jī)械能守恒及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
R=

1

2

gt²，R=v_Ct

1

2

m（vcosθ）²=mgR（1+cosθ）+

1

2

mv_c²
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

圓形管道從開始運(yùn)動(dòng)到突然停止過程中運(yùn)動(dòng)距離的可能值為：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

及s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

點(diǎn)評：本題考查機(jī)械能守恒及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，注意在解題中要正確應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解，明確在運(yùn)動(dòng)中速度的突變．