Question

18．“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星開始繞地球在橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過變軌、制動(dòng)后，成為一顆繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星．設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T．已知月球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量M及月球表面的重力加速度g；
（2）在距月球表面高度為h₀的地方（h₀＜＜R），將一質(zhì)量為m的小球以v₀的初速度水平拋出，求落地瞬間月球引力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率P．

Answer 1

分析 （1）對(duì)嫦娥二號(hào)繞月球的運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式可得月球質(zhì)量．由月面萬有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度g．
（2）拋出的物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得落地時(shí)物體在豎直方向的分速度，根據(jù)P=mgv求得重力做功的瞬時(shí)功率．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：$g=\frac{{4{π^2}{{（{R+h}）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；
（2）在月球表面高度為h處水平拋出物體，物體落地時(shí)豎直方向的速度：v_y²=2gh₀，
所以物體落地時(shí)的瞬時(shí)功率為：P=mgv_y，
解得：P=$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$；
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（2）落地瞬間月球引力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率P為$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決問題的主要思路是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，星球表面重力與萬有引力相等，掌握平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及重力做功瞬時(shí)功率等于重力與豎直方向速度的乘積．