Question

15．如圖所示，一光滑矩形框架abcd的ab邊的長(zhǎng)度是ad邊長(zhǎng)度的2倍且在兩邊各套有一小球A、B．現(xiàn)讓矩形框架abcd繞著通過其對(duì)角線ac的豎直軸以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩小球分別在ab、ad邊上穩(wěn)定時(shí)，小球A、B（　�。�

• A． 做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為4：1
• B． 做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比為1：1
• C． 與a點(diǎn)的高度差之比為8：1
• D． 與a點(diǎn)的高度差之比為16：1

Answer 1

分析 小球靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得出向心加速度的表達(dá)式，結(jié)合幾何關(guān)系求出向心加速度之比．抓住角速度相等，得出轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑之比，結(jié)合幾何關(guān)系求出與a點(diǎn)的高度差之比．

解答 解：A、小球均靠重力和支持力的合力提供向心力，對(duì)A球，根據(jù)牛頓第二定律得，mgtanθ=ma_A，解得向心加速度a_A=gtanθ，對(duì)B球，根據(jù)牛頓第二定律得，mgtanα=ma_B，解得向心加速度a_B=gtanα，根據(jù)幾何關(guān)系知，tanθ=2，tanα=$\frac{1}{2}$，則a_A：a_B=4：1，故A正確，B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)a=rω²知，兩球的角速度相等，向心加速度之比為4：1，則轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑之比為4：1，A球離a點(diǎn)的高度${h}_{A}=\frac{{r}_{A}}{tanα}$，B球離A點(diǎn)的高度${h}_{B}=\frac{{r}_{B}}{tanθ}$，因?yàn)?\frac{1}{tanα}：\frac{1}{tanθ}=4：1$，則h_A：h_B=16：1，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律、向心加速度的表達(dá)式以及幾何關(guān)系綜合求解，難度中等．