Question

3．一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊（可視為質(zhì)點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ．初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的．現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a₀開始運動，當其速度達到v₀后，便以此速度做勻速運動．經(jīng)過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動．求此黑色痕跡的長度．

Answer 1

分析 剛開始時傳送帶的速度大于煤塊的速度，煤塊相對于傳送帶向后運動，所以在傳送帶上留下痕跡，當煤塊的速度達到v時，煤塊和傳送帶相對靜止，此時沒有摩擦力，求出傳送帶的位移和煤塊的位移，兩者位移之差為黑色痕跡的長度．根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合解答．

解答 解：根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a₀．根據(jù)牛頓第二定律，可得
煤塊的加速度大小為  a=$\frac{μmg}{m}$=μg ①
設經(jīng)歷時間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v₀，煤塊則由靜止加速到v，有
v₀=a₀t ②
 v=at ③
由于a＜a₀，故v＜v₀，煤塊繼續(xù)受到滑動摩擦力的作用．再經(jīng)過時間t′，煤塊的速度由v增加到v₀，有
v₀=v+at′④
此后，煤塊與傳送帶運動速度相同，相對于傳送帶不再滑動，不再產(chǎn)生新的痕跡．
設在煤塊的速度從0增加到v₀的整個過程中，傳送帶和煤塊移動的距離分別為s₀和s，有  ${s_0}=\frac{1}{2}{a_0}{t^2}+{v_0}t'$ ⑤
   s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$  ⑥
傳送帶上留下的黑色痕跡的長度  l=s₀-s  ⑦
由以上各式得  l=$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$  ⑧
答：此黑色痕跡的長度是$\frac{{v}_{0}^{2}（{a}_{0}-μg）}{2μ{a}_{0}g}$．

點評 解決本題的關鍵知道要發(fā)生相對滑動，傳送帶的加速度需大于煤塊的加速度．黑色痕跡的長度等于傳送帶的位移和煤塊的位移之差．運用牛頓第二定律和運動學公式分段研究．