Question

如圖甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xoy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)加有與xoy平面垂直的勻強(qiáng)磁場．在坐標(biāo)原點(diǎn)O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速為v₀的帶電粒子．已知重力加速度大小為g．                                

                                               

Answer 1

（1）由題目中“帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向進(jìn)入磁場后，最終沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑離開磁場并繼續(xù)沿x軸正方向運(yùn)動”可知，帶電微粒所受重力與電場力平衡．設(shè)電場強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得：

mg=qE

∴E=

電場方向沿y軸正方向

帶電微粒進(jìn)入磁場后，做勻速圓周運(yùn)動，且圓運(yùn)動半徑r=R．

設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由牛頓第二定律得：

qv₀B=m

∴B=

磁場方向垂直于紙面向外

（2）設(shè)由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，

則θ滿足0≤θ＜，由于帶電微粒最終將沿x軸正方向運(yùn)動，

故B應(yīng)垂直于xoy平面向外，帶電微粒在磁場內(nèi)做半徑為勻速圓周運(yùn)動．

由于帶電微粒的入射方向不同，若磁場充滿紙面，

它們所對應(yīng)的運(yùn)動的軌跡如圖所示

為使這些帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運(yùn)動．

由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場．這樣磁場邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）應(yīng)滿足方程：

x=Rsinθ，

y=R（1﹣cosθ），

所以磁場邊界的方程為：

x²+（y﹣R）²+R²

由題中0≤θ＜的條件可知

以θ→的角度射入磁場區(qū)域的微粒的運(yùn)動軌跡

（x﹣R）²+y²=R²

即為所求磁場的另一側(cè)的邊界．

因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應(yīng)是圓

x²+（y﹣R）²=R²與圓（x﹣R）²+y²=R²的

交集部分（圖中陰影部分）．

由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為：

S_min=（﹣1）=（﹣1）R²．

答：（1）電場強(qiáng)度的大小為方向沿y軸正方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為，方向垂直紙面向外．

（2）勻強(qiáng)磁場的分布區(qū)域如圖所示，求出符合條件的磁場區(qū)域的最小面積為（﹣1）R²．．