Question

如圖所示，長為R的不可伸長輕繩上端固定在O點(diǎn)，下端連接一小球，小球與地面間的距離可以忽略（但小球不受地面支持力）且處于靜止?fàn)顟B(tài)．在最低點(diǎn)給小球一沿水平方向的初速度，此時(shí)繩子恰好沒斷，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．假設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)由于繩子碰到正下方P處的釘子恰好斷裂，最后小球落在距初始位置水平距離為4R的地面上，重力加速度為g．試求：
（1）繩突然斷開時(shí)小球的速度v；
（2）豎直方向上O與P的距離L．

Answer 1

分析：（1）繩突然斷開后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，高度已知，可以求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平位移已知，可以求出速度v；
（2）球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，要求小球?qū)�繩的拉力，就要求出此時(shí)的速度v₀，求v₀可以根據(jù)小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中用動(dòng)能定理去求，再根據(jù)向心力公式求出繩子的拉力，在最高點(diǎn)求出半徑r，即為L．

解答：解：（1）繩突然斷開后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由h=

1

2

gt2得：
t=

2h g

=

4R g

 小球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由x=vt得：v=

x

t

=

4R

4R g

=2

gR

（2）從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：

1

2

mv2-

1

2

mv02=-mg?2R
解得：v0=2

2

gR
在最低點(diǎn)有：
T-mg=m

v02

R

解得：T=9mg
所以繩子最大承受力為9mg，
在最高點(diǎn)由：
mg+T=m

v2

r

解得：r=

2

5

R
所以豎直方向上O與P的距離L=r=

2

5

R
答：（1）繩突然斷開時(shí)小球的速度v為2

gR

；
（2）豎直方向上O與P的距離L為

2

5

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式外，求速度的問題，動(dòng)能定理不失為一種好的方法．