Question

19．如圖所示內(nèi)壁光滑的環(huán)形槽半徑為R，固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量均為m的小球A、B，以等大的速率v₀從圓心等高處同時(shí)向上、向下滑入環(huán)形槽，若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩球均未脫離環(huán)形槽，設(shè)當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，則下列敘述中正確的是（　�。�

• A． 兩球再次相遇時(shí)，速率仍然相等，且小于v₀
• B． v₀的最小值為$\sqrt{2gR}$
• C． 小球A通過(guò)最高點(diǎn)的機(jī)械能小于小球B通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能
• D． 小球A通過(guò)最高點(diǎn)和小球B通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)形槽的壓力差值為5mg

Answer 1

分析 兩個(gè)小球在光滑的圓軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，據(jù)機(jī)械能守恒定律分析它們?cè)俅蜗嘤鰰r(shí)速率關(guān)系．A球要到最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的速度v必須滿足m$\frac{{v}^{2}}{R}$≥mg．根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律求解軌道對(duì)兩球的支持力之差，得到壓力之差．

解答 解：A、兩個(gè)小球在光滑的圓軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，開(kāi)始出發(fā)時(shí)機(jī)械能相等，則再次相遇時(shí)機(jī)械能守恒也相等，速率必定相等，A向上先做減速運(yùn)動(dòng)，越過(guò)最高點(diǎn)后再做加速運(yùn)動(dòng)，B向下先做加速運(yùn)動(dòng)，越過(guò)最點(diǎn)點(diǎn)后再做減速運(yùn)動(dòng)，兩球再次相遇時(shí)應(yīng)在水平面的上方，高度大于出發(fā)點(diǎn)的高度，由重力勢(shì)能變大，由機(jī)械能守恒定律可知，兩球的動(dòng)能減小，速度小于初速度v₀，故A正確．
B、設(shè)A球剛好到最高點(diǎn)時(shí)的速率為v，則mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，從出發(fā)到最高點(diǎn)的過(guò)程，有mgR+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²，聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，即小球v₀的最小值為$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，小球A通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能等于小球B通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能，故C錯(cuò)誤．
D、小球A通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有mg+N_A=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，小球B通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，有N_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
又由機(jī)械能守恒得：對(duì)A球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv₀²，對(duì)B球，有 mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_B²，
聯(lián)立解得，N_B-N_A=6mg，則小球A通過(guò)最高點(diǎn)和小球B通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)形槽的壓力差值為6mg，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要掌握機(jī)械能守恒和向心力知識(shí)，要準(zhǔn)確把握小球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件，熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理這類問(wèn)題．