Question

2．如圖，虛線L₁、L₂將平面分為四個(gè)區(qū)域，L₂的左側(cè)有一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，方向與L₁平行．L₂的右側(cè)為勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外．在圖中L₁上到L₂的距離為d的A點(diǎn)有一粒子源，可以發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子，粒子的初速度方向與L₂平行，不計(jì)粒子的重力．
（1）若從A點(diǎn)射出的粒子恰好從距離L₁為2d的B點(diǎn)進(jìn)入磁場，求該粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小和方向；
（2）在磁場區(qū)域放置絕緣擋板BD，擋板與L₁交于C點(diǎn)，已知OC=OB，BC=2CD．粒子與擋板BD碰撞前后粒子平行于擋板的分速度不變，垂直于擋板的分速度大小不變，方向反向．當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度在B₁≤B≤B₂取值時(shí)，恰好所有取值都能使由B點(diǎn)進(jìn)入磁場的粒子不與擋板的CD段碰撞，并能從L₂上的OB段射出磁場，求B₁、B₂的值，并求出粒子離開磁場的位置到O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離．（不考慮粒子再次進(jìn)入磁場的情況，也不考慮B₁≤B≤B₂以外的取值）

Answer 1

分析 根據(jù)帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律知識(shí)
（1）左邊的運(yùn)動(dòng)時(shí)類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上勻加速，豎直方向上勻速直線運(yùn)動(dòng)，利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)運(yùn)動(dòng)分解，可求出速度大小和方向；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，做出運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，根據(jù)條件，與CD段不碰撞，且從OB段射出磁場，列出兩個(gè)方程求出B的范圍．

解答 解：設(shè)粒子開始的速度為v₀，電場中的加速度為a，到達(dá)B的速度為v_B，根據(jù)題意
（1）粒子在電場做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向上有：d=$\frac{1}{2}{at}^{2}$
豎直方向上有：2d=v₀t
又，a=$\frac{qE}{m}$
由以上三式可得：
v₀=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$，t=$\sqrt{\frac{2dm}{qE}}$
從而可求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，
v_B=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}{{+a}^{2}t}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，
再有分速度和合速度之間的關(guān)系可得出，速度方向與水平方向夾角為45^°；
（2）粒子進(jìn)入磁場之后，洛倫茲力提供向心力，設(shè)圓周的半徑為r
則有，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子不與擋板的CD段碰撞，并能從L₂上的OB段射出磁場的臨界情況有2個(gè)：

（a）粒子在C點(diǎn)與擋板2個(gè)側(cè)面碰撞2次后恰好從O點(diǎn)射出磁場，如圖（a）；
（b）粒子與擋板碰撞1次后恰好從D點(diǎn)繞過擋板，再與擋板碰一次，然后從P點(diǎn)射出磁場，如圖（b）．
根據(jù)條件及幾何關(guān)系，
對(duì)照a圖，2r=$2\sqrt{2}d$
對(duì)照b圖，4r=$3\sqrt{2}d$
由以上兩式可得出半徑r的條件范圍：$\frac{3\sqrt{2}}{4}d≤r≤\sqrt{2}d$
再根據(jù)洛倫茲力等于向心力的公式得到：r=$\frac{mv}{qB}$，將左邊的式子帶入上面不等式，化簡可得，
$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}≤B≤\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$
即B₁=$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，B₂=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，
粒子離開磁場的位置到O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為圖（b）中的OP，由幾何關(guān)系可得：
OP=2d-$\sqrt{2}r$=2d-$\frac{3}{2}d$=$\frac{1}{2}d$．
答：（1）若從A點(diǎn)射出的粒子恰好從距離L₁為2d的B點(diǎn)進(jìn)入磁場，該粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，方向與水平方向夾45^°角；
（2）滿足題設(shè)要求的B₁B₂的值分別為：$\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$和$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qd}}$，粒子離開磁場的位置到O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為$\frac{1}{2}d$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，涉及到了平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，特別是第二個(gè)問，對(duì)于設(shè)定條件的問題，解題時(shí)需要選擇邊界，確定條件范圍，本題難度較大，綜合性較高．