Question

（2012?長(zhǎng)寧區(qū)一模）跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H=10m的跳臺(tái)自由落下，身體筆直且與水面垂直．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m=50kg，其體型可等效為一長(zhǎng)度L=1.0m、直徑d=0.30m的圓柱體，略去空氣阻力．運(yùn)動(dòng)員落水后，水的等效阻力f作用于圓柱體的下端面，f的量值隨落水深度Y變化的函數(shù)曲線(xiàn)如圖所示． 該曲線(xiàn)可近似看作橢圓的一部分，該橢圓的長(zhǎng)、短軸分別與坐標(biāo)軸OY和Of重合．運(yùn)動(dòng)員入水后受到的浮力F=ρgV （V是排開(kāi)水的體積）是隨著入水深度線(xiàn)性增加的．已知橢圓的面積公式是S=πab，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³，g取10m/s²．
試求：
（1）運(yùn)動(dòng)員剛?cè)胨畷r(shí)的速度；
（2）運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)入水面過(guò)程中克服浮力做的功；
（3）為了確保運(yùn)動(dòng)員的安全，水池中水的深度h至少應(yīng)等于多少？

Answer 1

分析：（1）不計(jì)空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)自由落下做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度H，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得運(yùn)動(dòng)員剛?cè)胨畷r(shí)的速度；
（2）浮力做功分為兩個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入水面為第一階段，水的浮力線(xiàn)性增加，用浮力的平均值與位移求解涉及到浮力做功；第二階段運(yùn)動(dòng)完全進(jìn)入水中，浮力是恒力，由功的公式直接求功；
（3）第二個(gè)階段：水的阻力做功為圖中曲線(xiàn)與橫軸所圍的面積，求出阻力做功．對(duì)于整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解深度h．

解答：解：（1）運(yùn)動(dòng)員剛?cè)胨畷r(shí)的速度為：
  v=

2gH

=

2×10×10

=10

2

m/s
（2）浮力做功分為兩個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入水面為第一階段，水的浮力線(xiàn)性增加，其做功為：
  WF1=-

0+ρgV

2

L=-

1

8

πρd2L2g
代入解得  W_F1=-353.25 J      
（3）設(shè)水深為h，第二階段浮力是恒力，其所做的功WF2=-ρ

1

4

πd2Lg(h-L)
水的阻力做功為圖中曲線(xiàn)與橫軸所圍的面積：Wf=-

1

4

π

5

2

mgh=-

5

8

πmgh
運(yùn)動(dòng)員的始、末狀態(tài)的速度均為零，對(duì)整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：
  W_G+W_F1+W_F2+W_f=0 
又 W_G=mg（H+h）
聯(lián)立得 mg(H+h)-

1

8

πρL2d2g-

1

4

πρLd2g(h-L)-

5

8

πmgh=0，
代入數(shù)據(jù)解得至少水深為  h=4.51m             
答：
（1）運(yùn)動(dòng)員剛?cè)胨畷r(shí)的速度為10

2

m；
（2）運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)入水面過(guò)程中克服浮力做的功為-353.25 J
（3）為了確保運(yùn)動(dòng)員的安全，水池中水的深度h至少應(yīng)等于4.51m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用物理知識(shí)分析實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵要抓住圖象的數(shù)學(xué)意義：面積等于阻力做功，根據(jù)功的公式和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．