Question

2．為紀念“光纖之父”、諾貝爾物理學獎獲得者華裔物理學家高錕的杰出貢獻，早在1996年中國科學院紫金山天文臺就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國際編號為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，在不考慮自轉(zhuǎn)的情況，求：（以下結(jié)果均用字母表達即可）
（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度；
（2）假設某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運動且運行周期為T，求該衛(wèi)星距地面的高度；
（3）假設“高錕星”為一均勻球體，試求“高錕星”的平均密度（球體積V=$\frac{4}{3}$πR³）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星距離地面的高度．
（3）結(jié)合“高錕星”的質(zhì)量，求出密度的大�。�

解答 解：（1）衛(wèi)星貼近“高錕星”表面運行時運行速度為第一宇宙速度，
根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$．
（2）設“高錕星”質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，依題意有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
GM=gR²
又r=R+h，
聯(lián)立解得衛(wèi)星距地面高度h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πRG}$．
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運行的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）“高錕星”的平均密度為$\frac{3g}{4πRG}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．