Question

17．Q為一個(gè)原來(lái)靜止在光滑水平面上的物體，質(zhì)量為M，它帶有一個(gè)凹形的不光滑軌道，軌道的ab段是水平的直線(xiàn)，bc段是位于豎直平面內(nèi)半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧，ab恰是圓弧bc的切線(xiàn)，P是另一個(gè)可看作質(zhì)點(diǎn)的小物體，質(zhì)量為m，它與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體P以沿水平方向的初速度v₀沖上Q的軌道，已知它恰好能到達(dá)軌道頂端c點(diǎn)，后又沿軌道滑下，并最終在a點(diǎn)停止滑動(dòng)，然后與Q一起在水平面上運(yùn)動(dòng)．
①求P從a點(diǎn)滑動(dòng)到c點(diǎn)的過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量；
②經(jīng)過(guò)軌道的哪個(gè)位置時(shí)（要求用圖中的角θ表示），Q的速度達(dá)到最大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P到達(dá)C點(diǎn)，P、Q具有共同的水平速度v，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，求出共同速度，再根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列方程，求解熱量Q．
（2）分析P從C滑到b的過(guò)程中Q的受力，作出力圖，只有Q在水平方向受力平衡時(shí)速度才最大，即可根據(jù)力圖求解．

解答 解：（1）當(dāng)P到達(dá)C點(diǎn)，P、Q具有共同的水平速度v，則系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒有：
mv₀=（m+M）v
根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgR+Q
Q=$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR
（2）分析P從C滑到b的過(guò)程中Q的受力．如圖所示，只有Q在水平方向受力平衡時(shí)速度才最大，此時(shí)有
fcosθ=Nsinθ
而 f=μN(yùn)
故tgθ=μ
即P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ
答：
（1）P從a點(diǎn)滑動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR；
（2）P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ時(shí)，Q的速度達(dá)到最大

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合題，關(guān)鍵要根據(jù)Q的受力情況，判斷出其在水平方向的合力為零時(shí)速度最大這個(gè)臨界條件．