Question

（19分）如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內分別存在勻強磁場，磁感應強度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時刻從y軸上的P點射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時，另一質量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計重力和兩粒子之間的相互作用力。求

（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時速度的大小；
（2）當a離開區(qū)域II時，a、b兩粒子的y坐標之差。

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）設粒子a在I內做勻速圓周運動的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點為，如圖。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得

         （1）
由幾何關系得           （2）
           （3）
式中
由（1）（2）（3）式得
                        （4）
（2）設粒子在II區(qū)內做圓周運動的的圓心為，半徑為，射出點為（圖中末畫出軌跡）

由洛侖茲力分式和牛頓第二定律得
                   （5）
由（1）（5）式得：           （6）
C，和三點共線，且由（6）式知必位于
          （7）
的平面上，由對稱性知 縱坐標相同，即
                  （8）
式中h是C點的Y坐標
設b在I中運動的軌道半徑為，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得
 （9）
設a到達點時，b位于點，轉過的角度為α。如果b沒有飛出I，則
 （10）
 （11）
式中，t是a在區(qū)域II中運動的時間，而
 （12）
 （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）（13）式得
 （14）
由①③⑨（14）式可見，b沒有飛出I。點的y坐標為
 （15）
由（1）（3）（8）（9）（14）（15）式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標之差為
 （16）
考點：牛頓第二定律，帶電粒子在電磁場中的運動