Question

（03年全國卷）（22分）一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切。現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經(jīng)傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經(jīng)BC段的微小滑動）。已知在一段相當(dāng)長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目N個。這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機的平均功率。

Answer 1

解析：

以地面為參考系（下同），設(shè)傳送帶的運動速度為v0，在水平段運輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速直線運動，設(shè)這段路程為s，所用的時間為t，加速度為a，則對小貨箱有

    s=at²                                                        ①

 

v₀=at                                                          ②

在這段時間內(nèi)，傳送帶運動的路程為

s₀=v₀t                                                          ③

由以上各式得

s₀=2s                                                           ④

用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為

 

A=fs=m                                                                                            ⑤

 

傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功

 

A₀=fs₀=2×m                                                                                     ⑥

 

兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量

 

Q=m                                                                                                   ⑦

 

可見，在小箱加速運動過程中，獲得的動能與發(fā)熱量相等。

 

T時間內(nèi)，電動機輸出的功為

 

W=T                                                                                                     ⑧

 

此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發(fā)熱，即

 

W=Nm+Nmgh+NQ                                                                            ⑨

 

已知相鄰兩小箱的距離為L，所以

 

v₀T=NL                                                                                                   ⑩

聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得

 

=