Question

11．由顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，叫做三星系統(tǒng)．有這樣一種簡單的三星系統(tǒng)；質(zhì)量剛好都相同的三個星體a、b、c在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同周期的圓周運(yùn)動，若三個星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 三個星體做圓周運(yùn)動的半徑為a
• B． 三個星體做圓周運(yùn)動的周期均為2πa$\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$
• C． 三星體做圓周運(yùn)動的線速度 大小均為$\sqrt{\frac{3Gm}{a}}$
• D． 三個星體做圓周運(yùn)動的向心加速度大小均為$\frac{3Gm}{{a}^{2}}$

Answer 1

分析 先求出任意兩個星體之間的萬有引力，從而得出每一星體受到的合力，該合力提供它們的向心力．根據(jù)幾何關(guān)系求出星體的軌道半徑，結(jié)合合力提供向心力求出線速度、向心加速度和周期．

解答 解：A、由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑為：r=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，故A錯誤．
B、根據(jù)合力提供向心力有：$2•\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}cos30°=ma′=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得星體做圓周運(yùn)動的周期為：T=2πa$\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$，線速度為：v=$\sqrt{\frac{Gm}{a}}$，向心加速度為：a′=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{a}^{2}}$，故B正確，CD錯誤．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了三星模型，知道每顆星體向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，注意軌道半徑不等于三角形的邊長．