Question

如圖，半徑為b、圓心為Q (b, 0) 點(diǎn)的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第一象限內(nèi)，虛線x=2b左側(cè)與過圓形區(qū)域最高點(diǎn)P的切線y=b上方所圍區(qū)域有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)。其它的地方既無電場(chǎng)又無磁場(chǎng)。一帶電粒子從原點(diǎn)O沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，最終打在放置于x=3b的光屏上。已知粒子質(zhì)量為m、電荷量為q (q> 0), 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B, 電場(chǎng)強(qiáng)度大小，粒子重力忽略不計(jì)。求：

(1)粒子從原點(diǎn)O射入的速率v
(2)粒子從原點(diǎn)O射入至到達(dá)光屏所經(jīng)歷的時(shí)間t;
(3)若大量上述粒子以（1) 問中所求的速率，在xOy平 面內(nèi)沿不同方向同時(shí)從原點(diǎn)O射入，射入方向分布 在圖中45°范圍內(nèi)，不考慮粒子間的相互作用，求粒子先后到達(dá)光屏的最大時(shí)間差t₀
(本題18分，第1小題3分，第2小題5分，第3小題10分)

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為則有
，沿半徑反向進(jìn)入磁場(chǎng)又沿半徑方向離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)，軌跡如下圖

有幾何關(guān)系得 
整理得
(2)粒子從O點(diǎn)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)后，從P點(diǎn)豎直向上離開磁場(chǎng)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻減速到0后又豎直向下勻加速進(jìn)入磁場(chǎng)，繼續(xù)圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)90度后從x軸正方向離開磁場(chǎng)，如下圖。

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為，粒子在磁場(chǎng)中共運(yùn)動(dòng)兩個(gè)四分之一圓周，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
在電場(chǎng)中做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)， 時(shí)間
粒子在無場(chǎng)區(qū)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)到O’點(diǎn)時(shí)間：
粒子到屏所經(jīng)歷的時(shí)間：
代入速度v的表達(dá)式，得：
（3）粒子從O點(diǎn)沿與x軸成入射后，速度不變，磁場(chǎng)不變所以半徑不變。圓形磁場(chǎng)半徑和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的相同，因此圖中的四邊形為菱形，邊長(zhǎng)都為b,粒子沿+y方向離開磁場(chǎng)，再射入電場(chǎng)，之后又經(jīng)N點(diǎn)沿與O點(diǎn)相同的入射速度離開磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角之和為


粒子在場(chǎng)區(qū)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
粒子在無場(chǎng)區(qū)中做勻速運(yùn)動(dòng)： 
粒子到光屏的時(shí)間：
沿x正方向進(jìn)入的粒子，最先到光屏，沿45⁰進(jìn)入粒子最后達(dá)到光屏，時(shí)間差為：
得：