Question

19．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一、第四象限內(nèi)分別存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場和沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為E．一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，自y軸上的P點(diǎn)沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限．已知OP=d，OQ=2d．（不計(jì)粒子重力）
（1）求粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）若粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律、類平拋運(yùn)動的規(guī)律和運(yùn)動的合成與分解進(jìn)行解答．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，再根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力列式解答．

解答 解：（1）設(shè)粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為t₀，加速度的大小為a，粒子的初速度為v₀，過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，沿y軸方向分速度的大小為v_y，速度與x軸正方向間的夾角為θ，由牛頓第二定律得 qE=ma  ①
由運(yùn)動學(xué)公式得
  d=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$     ②
 2d=v₀t₀      ③
粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)豎起分速度 v_y=at₀      ④
合速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$          ⑤
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$            ⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式可得 v=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$          ⑦
 θ=45°               ⑧；
（2）設(shè)粒子做圓周運(yùn)動的半徑為R，粒子在第一象限內(nèi)的運(yùn)動軌跡如圖所示，O₁為圓心，由幾何關(guān)系可知△O₁OQ為等腰直角三角形，得 R=2$\sqrt{2}$d         ⑨
由牛頓第二定律得 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$         ⑩
聯(lián)立⑦⑨⑩式得   B₀=$\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$⑪
答：
（1）粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，方向與x軸正成45°向上；
（2）若粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$．

點(diǎn)評 粒子現(xiàn)在電場中做類平拋運(yùn)動，然后在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動軌跡圖是關(guān)鍵，注意數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用．