Question

如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO′的速度v0=

3 qU0T

3dm

射入，所有粒子在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響．
（1）求粒子打出電場時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍
（2）求粒子飛出電場時(shí)的速度
（3）若要使打出電場的粒子經(jīng)某一圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能通過圓形磁場邊界的一個(gè)點(diǎn)處，而便于再收集，則磁場區(qū)域的最小直徑和相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在t=0、T、2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最下端；粒子在t=

2

3

T、

2

3

T+T、

2

3

T+2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最上端，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式列式求解即可．
（2）將粒子的運(yùn)動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運(yùn)動，在垂直于初速度方向，粒子在電場力的作用下做變速直線運(yùn)動，求出兩個(gè)方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（3）要使粒子偏轉(zhuǎn)后交于一點(diǎn)，只需磁場的半徑等于粒子圓周運(yùn)動的半徑即可．

解答：解：（1）當(dāng)粒子由t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場，向下側(cè)移最大；
S₁=

qu0T

2dm

?(

2T

3

)2+

qu0

dm

?(

2T

3

)?

T

3

-

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

7qu0T2

18dm

當(dāng)粒子由t=nT+

2T

3

時(shí)刻進(jìn)入電場，向上側(cè)移最大；
S₂=

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

qu0T2

18dm

在距離O′中點(diǎn)下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范圍內(nèi)有粒子打出．
（2）打出粒子的水平分速度都是相同的，在沿電場線方向速度大�。簐_y=

u0q

dm

?

T

3

=

u0qT

3dm

，
所以打出速度大�。簐=

v 2 0 + v 2 y

=

( 3 u0qT 3dm )2+( u0qT 3dm )2

=

2u0qT

3dm

方向：tanθ=

vy

v0

=

3

3

，θ=30°
（3）要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí)，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，粒子寬度D=

4qu0T2

9dm

?cos300=

2 3 qu0T2

9dm

，
粒子在磁場中作圓周運(yùn)動有Bqv=m

v2

D 2

，解得：
B=

2 3 m

qT

，方向垂直紙面．
答：（1）在距離O′中點(diǎn)下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范圍內(nèi)有粒子打出；
（2）打出速度大小為

2u0qT

3dm

，方向與水平成θ=30°斜向下；
（3）磁場區(qū)域的最小直徑為

2 3 qu0T2

9dm

，相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是

2 3 m

qT

，方向垂直紙面．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵將粒子的運(yùn)動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進(jìn)行正交分解，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式列式求解；第三問較難，關(guān)鍵是幾何關(guān)系的理解．