Question

7．“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢(mèng)想邁出了重要的一步．已知“嫦娥一號(hào)”繞月飛行軌道近似圓周，距月球表面高度為H，飛行周期為T(mén)，月球的半徑為R，引力常數(shù)為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M．
（2）如果在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，物體拋出時(shí)離地面高度為h（h遠(yuǎn)小于R），水平位移為L(zhǎng)，則物體拋出時(shí)的初速度是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥一號(hào)”圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”的萬(wàn)有引和提供“嫦娥一號(hào)”的向心力，由此列式可以求出月球的質(zhì)量M；
（2）在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．然后由平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可求出物體的初速度．

解答 解：（1）設(shè)“嫦娥一號(hào)”質(zhì)量為m₁，圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，則有：
$\frac{{GMm{\;}_1}}{{{{（R+H）}^2}}}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+H）$…①
所以：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+H）}^3}}}{{G{T^2}}}$…②
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g₀，質(zhì)量為m的物體在月球表面的重力等于萬(wàn)有引力有：
$\frac{GMm}{R^2}=m{g_0}$…③
設(shè)平拋物體的初速度為υ₀，飛行時(shí)間為t，則有：$h=\frac{1}{2}{g_o}{t^2}$…④
L=υ₀t…⑤
由②③④⑤解得：${υ_0}=\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$…⑥
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）如果在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，物體拋出時(shí)離地面高度為h（h遠(yuǎn)小于R），水平位移為L(zhǎng)，則物體拋出時(shí)的初速度是$\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬(wàn)有引力定律的一般應(yīng)用，能正確根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由萬(wàn)有引力提供和量球表面的重力和萬(wàn)有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問(wèn)題．