Question

6．一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=$\frac{1}{20}$kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O，O到小球的距離為L(zhǎng)=0.1m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個(gè)光滑的斜面和一個(gè)擋板，如圖所示，水平距離s為2m，動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25．現(xiàn)有一小滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球碰撞時(shí)交換速度，與擋板碰撞不損失機(jī)械能．若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，試問：
（1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此高度h．
（2）若滑塊B從h=5m處滑下，求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球的拉力．
（3）若滑塊B從h=5m 處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)，重力恰好提供向心力；對(duì)滑塊從下滑到與小球碰撞過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式；聯(lián)立方程組求解即可；
（2）先對(duì)滑塊從下滑到與小球碰撞過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出碰撞前的速度；碰撞，速度傳遞給小球，然后對(duì)小球受力分析，受重力和拉力，合力提供向心力；
（3）滑塊B從h=5m 處下滑與小球碰撞后，速度傳遞給小球，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一圈后從左側(cè)碰撞滑塊，速度傳遞給滑塊，滑塊向右移動(dòng)，碰撞擋板后返回，再次通過碰撞將速度傳遞給小球，小球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，從右側(cè)通過碰撞將速度傳遞給滑塊，滑塊向左移動(dòng)，沖上斜面后返回，再次從左側(cè)碰撞小球，完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)；此后不斷重復(fù)這個(gè)過程，直到小球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)為止．

解答 解：（1）小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，它到最高點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，則有：
$mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$                          ①
在小滑塊B從h處運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中由動(dòng)能定理可知：
mgh-μmg$\frac{S}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²；
碰后交換速度，則對(duì)小球由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒定律可得：
-mg×2L=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：h=0.5m      
（2）若滑塊從h′=5m處下滑到將要與小球碰撞時(shí)速度為v₁，則有
$mgh′-μmg\frac{S}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$               ③
滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以的速度開始作圓周運(yùn)動(dòng)，繩的拉力T和重力的合力充當(dāng)向心力，則有 
$T-mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$      ④
解得
T=48N     
（3）小球恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為：E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mg（2L）$
滑塊和小球第一次碰撞后，每在平面上經(jīng)s路程后再次碰撞，即機(jī)械能損失為：△E_損=f•S=μmgS，則根據(jù)能量守恒定律，有
$\frac{mgh′-μmg\frac{S}{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-2mgL}{μmgS}+1≥n$
解得：n=10次      
即小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)n為10．
答：（1）高度h為0.5m；
（2）滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球的拉力為48N；
（3）球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)n為10．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要明確小球和滑塊的運(yùn)動(dòng)的全部過程，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律以及動(dòng)能定理列式求解．