Question

17．為了解決高樓救險中云梯高度不夠高的問題，可在消防云梯上再伸出輕便的滑桿．被困人員使用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上、沿滑桿下滑到消防云梯上逃生．通常滑桿由AO、OB兩段直桿通過光滑轉(zhuǎn)軸在O處連接，滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，且可繞固定物自由轉(zhuǎn)動，B端用鉸鏈固定在云梯上端，且可繞鉸鏈自由轉(zhuǎn)動，以便調(diào)節(jié)被困人員滑到云梯頂端的速度大小．設(shè)被困人員在調(diào)整好后的滑桿上下滑時滑桿與豎直方向的夾角保持不變，被困人員可看作質(zhì)點、不計過O點時的機械能損失．已知AO長L₁=6m、OB長L₂=12m、豎直墻與云梯上端點B的水平距離d=13.2m，被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO間、滑桿OB間的動摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{5}{6}$．為了安全被困人員到達云梯頂端B點的速度不能超過6m/s，取g=10m/s²．
（1）現(xiàn)測得OB與豎直方向的夾角為53°，此時AO與豎直方向的夾角是多少？分析判斷這種條件下被困人員滑到B點是否安全．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（2）若云梯頂端B點與豎直墻間的水平距離保持不變，求能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離．

Answer 1

分析 （1）對OA由幾何關(guān)系可求得夾角，對人受力分析由牛頓第二定律可求得加速度的大小及方向；
再運用運用學(xué)公式求得被困人員到達云梯頂端B點速度，去進行比較．
（2）對全程由動能定理可得出重力及摩擦力做功與動能的關(guān)系，由幾何關(guān)系可求得最大距離．

解答 解：（1）設(shè)桿OA、OB與豎直方向的夾角分別為α、β，由幾何關(guān)系得：
d=L₁sinα+L₂sinβ            
解得：α=37°
對人受力分析，由牛頓第二定律得：
mgcosα-μmgsinα=ma₁      
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=3m/s² 
根據(jù)運動學(xué)公式得：V₀²=2a₁L₁
 V₀=6m/s
mgcosβ-μmgsinβ=ma₂ 
a₂=-$\frac{2}{3}$m/s² 
V_B²-V₀²=2（-a₂）L₂
v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
因V_B＜6m/s，被困人員能安全到達云梯頂端B點．
（2）設(shè)滑桿兩端點AB的最大豎直距離為h，對被困人員下滑全過程由動能定理得：
mgh-μmgL₁sinα′-μmgL₂sinβ′=$\frac{1}{2}$mv²
d=L₁sinα'+L₂sinβ'
h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$+μd
h≤12.8m
若兩桿伸直，AB間的豎直高度為：
h′=$\sqrt{{{（{{L}_{1}+L}_{2}）}^{2}-d}^{2}}$=12.24m
h′＜h
所以能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離應(yīng)為h_m=12.24m．
答：（1）現(xiàn)測得OB與豎直方向的夾角為53°，AO與豎直方向的夾角是37°，被困人員滑到B點是安全的．
（2）若云梯頂端B點與豎直墻間的水平距離保持不變，能夠被安全營救的被困人員與云梯頂端B的最大豎直距離是12.24m．

點評 本題重點在于對幾何關(guān)系的認識，要注意找出題目中的臨界條件，再結(jié)合牛頓第二定律及運動學(xué)規(guī)律即可進行分析求解．