Question

1．如圖所示，兩根水平的金屬光滑平行導(dǎo)軌，其末端連接等高光滑的$\frac{1}{4}$圓弧，其軌道半徑為r、圓弧段在圖中的cd和ab之間，導(dǎo)軌的間距為L(zhǎng)，軌道的電阻不計(jì)．在軌道的頂端接有阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L、電阻不計(jì)，質(zhì)量為m的金屬棒，從軌道的水平位置ef開(kāi)始在拉力作用下，從靜止勻加速運(yùn)動(dòng)到cd的時(shí)間為t₀，調(diào)節(jié)拉力使金屬棒接著沿圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab處，已知金屬棒在ef和cd之間運(yùn)動(dòng)時(shí)的拉力隨時(shí)間圖象如圖（其中圖象中的F₀、t₀為已知量），求：

（1）金屬棒做勻加速的加速度；
（2）金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab的過(guò)程中，拉力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律寫(xiě)出F隨速度的變化的公式，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求出加速度．
（2）金屬棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生正弦式交變電流，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為E_m=BLv₀，有效值為E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m，根據(jù)焦耳定律Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$求出求解金屬棒產(chǎn)生的熱量．再根據(jù)功能關(guān)系求拉力做功．

解答 解：（1）設(shè)棒到達(dá)cd的速度為v，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E=BLv；
感應(yīng)電流：$I=\frac{E}{R}$
棒受到的安培力：${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
棒受到拉力與安培力的作用，產(chǎn)生的加速度：ma=F₀-F_安
所以：$a=\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR}$
（2）金屬棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒與圓心的連線與豎直方向之間的夾角是θ時(shí)，沿水平方向的分速度：
v_水平=v•cosθ
棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E′=BLv_水平=BLvcosθ
回路中產(chǎn)生正弦式交變電流，可得產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為E_m=BLv，有效值為E_有效=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$，
棒從cd到ab的時(shí)間：$t=\frac{\frac{1}{4}•2πr}{v}=\frac{πr}{2v}$
根據(jù)焦耳定律Q=$\frac{{E}_{有效}^{2}}{R}•t$=$\frac{π{F}_{0}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}r}{4（{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR）}$．
設(shè)拉力做的功為W_F，由功能關(guān)系有  W_F-mgr=Q
得：${W}_{F}=mgr+\frac{π{F}_{0}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}r}{4（{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR）}$．
答：（1）金屬棒做勻加速的加速度是$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR}$；
（2）金屬棒從cd沿$\frac{1}{4}$圓弧做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab的過(guò)程中，拉力做的功是$mgr+\frac{π{F}_{0}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}r}{4（{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR）}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是判斷出回路中產(chǎn)生的是正弦式交變電流，相當(dāng)于線圈在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)單邊切割磁感線，要用有效值求解熱量．