Question

3．在地面附近的真空中，存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場和垂直電場方向水平向里的勻強(qiáng)磁場，如圖甲所示．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B（圖象中的B₀末知）隨時間t的變化情況如圖乙所示．該區(qū)域中有一條水平直線MN，D是MN上的一點(diǎn)．在t=0時刻，有一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（可看做質(zhì)點(diǎn)），從M點(diǎn)開始沿著水平直線以速度v₀向右做勻速直線運(yùn)動，t₀時刻恰好到達(dá)N點(diǎn)．經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，小球在t=2t₀至t=3t₀時間內(nèi)的某一時刻，又豎直向下經(jīng)過直線MN上的D點(diǎn)，并且以后小球多次水平向右或豎直向下經(jīng)過D點(diǎn)．不考慮地磁場的影響，求：
（1）電場強(qiáng)度E的大小；
（2）小球從M點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次經(jīng)過D點(diǎn)所用的時間；
（3）小球運(yùn)動的周期，并畫出運(yùn)動軌跡（只畫一個周期）．

Answer 1

分析 （1）小球從M點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)時，電場力與重力平衡，由平衡條件即可求解E的大小；
（2）根據(jù)直線運(yùn)動與圓周運(yùn)動，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式與周期公式，即可求解；
（3）由上分析，根據(jù)受力與運(yùn)動情況，可畫出運(yùn)動軌跡．

解答 解：（1）小球從M點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)時，有qE=mg，解得 E=$\frac{mg}{q}$．
（2）小球從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時間t₁=t₀
小球從N點(diǎn)經(jīng)過$\frac{3}{4}$個圓周，到達(dá)P點(diǎn)，所以 t₂=t₀
小球從P點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)的位移 x=R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
小球從P點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)的時間 t₃=$\frac{R}{{v}_{0}}$=$\frac{m}{{B}_{0}q}$
得 t₀=$\frac{2πm}{qB}$，t₃=$\frac{2{t}_{0}}{3π}$    
所以所求時間 t=t₁+t₂+t₃=2t₀（$\frac{1}{3π}$+1）．
（3）小球運(yùn)動一個周期的軌跡如圖所示．小球的運(yùn)動周期為T=8t₀．
答：
（1）電場強(qiáng)度E的大小是$\frac{mg}{q}$；
（2）小球從M點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次經(jīng)過D點(diǎn)所用的時間是2t₀（$\frac{1}{3π}$+1）；
（3）小球運(yùn)動的周期是8t₀，畫出運(yùn)動軌跡如圖所示．

點(diǎn)評 考查粒子在復(fù)合場的運(yùn)動，掌握受力與運(yùn)動的關(guān)系，注意學(xué)會畫出運(yùn)動軌跡，體現(xiàn)幾何的特性及對稱性．