Question

3．在地面附近的真空中，存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直電場(chǎng)方向水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖甲所示．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B（圖象中的B₀末知）隨時(shí)間t的變化情況如圖乙所示．該區(qū)域中有一條水平直線MN，D是MN上的一點(diǎn)．在t=0時(shí)刻，有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球（可看做質(zhì)點(diǎn)），從M點(diǎn)開(kāi)始沿著水平直線以速度v₀向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻恰好到達(dá)N點(diǎn)．經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，小球在t=2t₀至t=3t₀時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻，又豎直向下經(jīng)過(guò)直線MN上的D點(diǎn)，并且以后小球多次水平向右或豎直向下經(jīng)過(guò)D點(diǎn)．不考慮地磁場(chǎng)的影響，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）小球從M點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的周期，并畫出運(yùn)動(dòng)軌跡（只畫一個(gè)周期）．

Answer 1

分析 （1）小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力與重力平衡，由平衡條件即可求解E的大小；
（2）根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與周期公式，即可求解；
（3）由上分析，根據(jù)受力與運(yùn)動(dòng)情況，可畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答 解：（1）小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，有qE=mg，解得 E=$\frac{mg}{q}$．
（2）小球從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間t₁=t₀
小球從N點(diǎn)經(jīng)過(guò)$\frac{3}{4}$個(gè)圓周，到達(dá)P點(diǎn)，所以 t₂=t₀
小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的位移 x=R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的時(shí)間 t₃=$\frac{R}{{v}_{0}}$=$\frac{m}{{B}_{0}q}$
得 t₀=$\frac{2πm}{qB}$，t₃=$\frac{2{t}_{0}}{3π}$    
所以所求時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃=2t₀（$\frac{1}{3π}$+1）．
（3）小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如圖所示．小球的運(yùn)動(dòng)周期為T=8t₀．
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{mg}{q}$；
（2）小球從M點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)所用的時(shí)間是2t₀（$\frac{1}{3π}$+1）；
（3）小球運(yùn)動(dòng)的周期是8t₀，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在復(fù)合場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，掌握受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，注意學(xué)會(huì)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，體現(xiàn)幾何的特性及對(duì)稱性．