Question

如圖所示，兩根不計(jì)電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ 放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ₁段是直導(dǎo)線，Q₁Q₂段是弧形導(dǎo)線，Q₂Q₃段是直導(dǎo)線，MN、PQ₁、Q₂Q₃相互平行．M、P間接入一個(gè)阻值R=0.25Ω的電阻．質(zhì)量m=1.0kg、不計(jì)電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，金屬棒始終垂直于MN，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下．金屬棒處于位置（I）時(shí)，給金屬棒一向右的初速度v₁=4 m/s，同時(shí)給一方向水平向右F₁=3N的外力，使金屬棒向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)金屬棒運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅱ）時(shí)，外力方向不變，改變大小，使金屬棒向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)2s到達(dá)位置（Ⅲ）．已知金屬棒在位置（I）時(shí)，與MN、Q₁Q₂相接觸于a、b兩點(diǎn)，a、b的間距L₁=1 m；金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)，棒與MN、Q₁Q₂相接觸于c、d兩點(diǎn)；位置（I）到位置（Ⅱ）的距離為7.5m．求：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大��；
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L₂；
（3）金屬棒從位置（I）運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，電阻R上放出的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度不變，方向向左．在位置I時(shí)，由E₁=BL₁v₁，I₁=

E1

R

、F_安1=BI₁L₁推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度大小．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)的速度v₂，金屬棒在（I）和（II）之間做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小保持不變，外力F₁恒定，則AB棒受到的安培力不變即F_安1=F_安2，由安培力的表達(dá)式求解L₂；
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小與位置Ⅱ的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，安培力與位置Ⅱ的安培力大小相等，求出兩個(gè)過(guò)程外力做功，根據(jù)能量守恒求解熱量．

解答：解：（1）金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中，加速度不變，方向向左，設(shè)大小為a，在位置I時(shí)，a、b間的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁，感應(yīng)電流為I₁，受到的安培力為F_安1，
則E₁=BL₁v₁             
又I₁=

E1

R

，F(xiàn)_安1=BI₁L₁，
得 F_安1=

B2 L 2 1 v1

R

             
代入解得 F_安1=4N
由牛頓第二定律得 F_安1-F₁=ma
解得 a=1m/s²．
（2）設(shè)金屬棒在位置（Ⅱ）時(shí)，速度為v₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得
 

v

2 2

-

v

2 1

=-2a s₁
解得 v₂=1m/s．
由于在（Ⅰ）和（Ⅱ）之間做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，即加速度大小保持不變，外力F₁恒定，所以AB棒受到的安培力不變，即F_安1=F_安2
得 

B2 L 2 1 v1

R

=

B2 L 2 2 v2

R

解得，L₂=

v1 v2

L1=2m
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小與位置Ⅱ時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，安培力與位置Ⅱ的安培力大小相等，所以
  F₂=F_安2=4N
設(shè)位置（Ⅱ）和（Ⅲ）之間的距離為s₂，則
  s₂=v₂t=2m
設(shè)從位置（Ⅰ）到位置（Ⅱ）的過(guò)程中，外力做功為W₁，從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，外力做功為W₂，則
  W₁=F₁s₁=22.5J
  W₂=F₂s₂=8J
根據(jù)能量守恒得  W₁+W₂+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+Q
解得，Q=38J
答：
（1）金屬棒向右勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小是1m/s²；
（2）c、d兩點(diǎn)間的距離L₂是2m．
（3）金屬棒從位置（I）運(yùn)動(dòng)到位置（Ⅲ）的過(guò)程中，電阻R上放出的熱量Q是38J．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要根據(jù)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況，分析受力情況，要選擇研究的位置，抓住兩個(gè)過(guò)程及各個(gè)狀態(tài)之間的關(guān)系，運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和能量守恒結(jié)合進(jìn)行研究．