Question

19．如圖1所示，小球（可視為質(zhì)點）在光滑圓弧槽上的A、A′之間往復(fù)運動，小球的運動視為簡諧運動，使用周期性外力驅(qū)動小球，得出驅(qū)動力頻率與振幅之間的關(guān)系如圖2所示，當(dāng)驅(qū)動力頻率為f₀時小球振幅最大．撤去驅(qū)動力，小球自由振動，A、A′點為左右端點，D為最低點，A、A′點與圓心O的連線與豎直方向之間的夾角相等且均為θ，（θ＜5°），已知重力加速度g，求：
（1）光滑圓弧槽的半徑；
（2）小球運動過程中，在最低點D和端點A處對光滑圓弧槽的壓力之比．

Answer 1

分析 （1）受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率等于驅(qū)動力的頻率時，系統(tǒng)達到共振，振幅達到最大．由圖2讀出共振時驅(qū)動力的頻率，即為小球的固有頻率，再由單擺的頻率公式求圓弧槽的半徑；
（2）撤去驅(qū)動力，小球自由振動，在D點，由合力提供向心力．在A點，向心力為零，由牛頓定律求解．

解答 解：（1）由題可得，小球振動的固有頻率為 f=f₀．
由于θ＜5°，所以撤去驅(qū)動力后小球的振動等效于擺長等于圓弧槽的半徑的單擺振動，則有：
f=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
解得圓弧槽的半徑為：R=$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$
（2）從A到D，由機械能守恒定律得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點，由牛頓第二定律得：N_D-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N_D=（3-2cosθ）mg
由牛頓第三定律可知，小球在D點對圓弧槽的壓力大小為：N_D′=N_D=（3-2cosθ）mg
在A點，速度為零，向心力為零，則有：N_A=mgcosθ
由牛頓第三定律可知，小球在A點對圓弧槽的壓力大小為：N_A′=N_A=mgcosθ
故$\frac{N{′}_{D}}{N{′}_{A}}$=$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$
答：（1）光滑圓弧槽的半徑是$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$；
（2）小球運動過程中，在最低點D和端點A處對光滑圓弧槽的壓力之比是$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要掌握共振的條件：驅(qū)動力的頻率等于物體的固有頻率．對于圓周運動求力時，往往根據(jù)機械能守恒定律和牛頓定律結(jié)合解答．