Question

如圖所示，一個(gè)半徑為R的光滑圓弧軌道APB豎直固定放置，PQ為其豎直對(duì)稱軸，∠AOQ與∠BOQ都等于θ�，F(xiàn)讓一可看做質(zhì)點(diǎn)的小球在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其沖出A點(diǎn)后恰好可以從B點(diǎn)再進(jìn)入軌道，所以此運(yùn)動(dòng)可以周而復(fù)始進(jìn)行。已知小球質(zhì)量為m，重力加速度為g，試求：

(1)小球離開(kāi)軌道后的最高點(diǎn)距直線AB的距離；
(2)若要小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最小，θ應(yīng)為多少？對(duì)應(yīng)的最小壓力為多少？

Answer 1

(1)h= (2)N_m=          

(1)物體剛剛沖出A點(diǎn)時(shí)，將物體速度分解有

v₁=vcosθ                  (1)
v₂=vsinθ                  (2)
在拋出到最高點(diǎn)過(guò)程中，水平方向?yàn)閯蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，有
Rsinθ=v₁t                  (3)
豎直方向?yàn)閯蜃兯僦本�運(yùn)動(dòng)，末速度為零，時(shí)間逆向來(lái)看是初速度為0的自由落體運(yùn)動(dòng)，有
v₂=gt                      (4)
h=                    (5)
由以上(1)(2)(3)(4)可解得
v=                 (6)
t=             (7)
由(5)得
h=                (8)
(2)設(shè)物體在最低點(diǎn)的速度為v'，則物體在從A到最低點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理
mgR(1+cosθ)=   (9)
在最低點(diǎn)，由向心力公式，有
N-mg=                (10)
由(6)(9)(10)得
N=    (11)
分析知當(dāng)θ=45º時(shí)，N最大為
N_m=           (12)
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：
(1)問(wèn)6分，(3)(4)各2分，(5)(8)各1分。
(2)問(wèn)6分，(9)(10)各2分，結(jié)果2分。
本題考查斜上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平方向不受外力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向只受重力作用做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)豎直分速度減小到零，先把初速度分解，由水平方向勻速運(yùn)動(dòng)求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再由豎直方向的運(yùn)動(dòng)求得豎直分速度，由豎直上拋運(yùn)動(dòng)求得豎直高度，從拋出到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理列出公式，在最低點(diǎn)，由支持力和重力的合力提供向心力，寫出支持力的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)方法求得最大值