Question

1．小明手頭有一支密度計，實驗中他發(fā)現(xiàn)密度計可以在水面上下浮動，便聯(lián)想到了簡諧運動．于是他想證明密度計的上下浮動是否是簡諧運動．現(xiàn)給出如下參數(shù)，密度計質(zhì)量為m，直徑為d，液體密度為ρ，不計液體對水的阻力，試幫助小明給出證明．

Answer 1

分析 根據(jù)做簡諧振動的條件是：質(zhì)點受到大小與離開平衡位置的距離成正比，方向總指向平衡位置的力的作用下的運動，然后結(jié)合受力分析進行解答即可．

解答 證明：根據(jù)阿基米德定律，密度計恰好在液體中靜止時，排開水的重力與密度計的重力相等，即：m_水g=mg
所以排開水的體積：
${V}_{0}=\frac{m′g}{ρg}=\frac{m}{ρ}$
設密度計的橫截面積為S，則：S=$\frac{πyk8gmwg^{2}}{4}$
此時密度計進入水中的深度為h₀，則：${h}_{0}=\frac{{V}_{0}}{S}=\frac{{V}_{0}}{\frac{πkk0eqqe^{2}}{4}}=\frac{4m}{πqgkweyy^{2}•ρ}$
當密度計進入水中的濕度為h時，則密度計受到的浮力：F=ρV•g=ρSh•g
若h＞h₀，則密度計相對于平衡位置的位移向下，但合力的方向向上；合力為：
F_合=F-mg=F-m′g=ρShg-ρV₀g=ρShg-ρSh₀g=ρSg（h-h₀）
其中h-h₀是密度計偏離平衡位置的位移，考慮到該力的方向與位移的方向相反，ρSg都是常數(shù)，該上式可以寫成：
F_合=-k（h-h₀）=-k•x
可知密度計受到的合外力與離開平衡位置的位移成正比．
同理，若h＜h₀，密度計相對于平衡位置的位移向上，則受到的合外力的方向向下，仍然滿足：F_合=-kx
所以，當密度計離開平衡位置一個小位移后，它將在平衡位置附近做簡諧振動．
證明畢．

點評 該題考查對簡諧振動的條件的判定，證明該情況下的運動是簡諧振動，就要從簡諧振動的條件入手，分析受到的合外力與密度計離開平衡位置的位移成正比．