Question

如圖甲所示，在整個(gè)矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有由M指向N方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E（圖甲中未畫(huà)出）和垂直矩形區(qū)域向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B（圖甲中未畫(huà)出），E和B隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示在t=0時(shí)刻，將帶正電、比荷為25C/kg的粒子從MQ的中點(diǎn)無(wú)初速釋放，粒子在第8s內(nèi)經(jīng)NP邊離開(kāi)矩形區(qū)域已知MQ邊足夠長(zhǎng)，粒子重力不計(jì)，

1

π

=0.32．
（1）求矩形區(qū)域PQ邊長(zhǎng)滿足的條件；
（2）若要粒子從MQ邊飛出，釋放粒子的時(shí)刻t應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到前7s內(nèi)粒子的位移．再根據(jù)條件：第8s內(nèi)從NP邊離開(kāi)矩形區(qū)域，由幾何關(guān)系分析矩形區(qū)域PQ邊長(zhǎng)滿足的條件；
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間表達(dá)式，由洛倫茲力提供向心力得到磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，根據(jù)粒子要從MQ邊飛出半徑與位移的關(guān)系，求解釋放粒子的時(shí)刻t應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）第1s內(nèi)粒子在電場(chǎng)力的作用下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，由牛頓第二定律有：
  a=

qE

m

  ①
第2s內(nèi)粒子在庫(kù)侖力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
有：T=

2πm

qB

  ②
代入已知數(shù)據(jù)可得：T=1s，所以可得粒子在1s、3s、5s、7s內(nèi)作勻加速運(yùn)動(dòng)，2s，4s，6s內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
可作出粒子在第8s內(nèi)剛好不從NP邊離開(kāi)矩形區(qū)域的運(yùn)動(dòng)示意圖，如圖所示．粒子在奇數(shù)秒內(nèi)的整體運(yùn)動(dòng)可以等效為初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)． 
設(shè)前7s內(nèi)的位移為s₇，s7=

1

2

a(7-3)2  ③
設(shè)粒子第7s末的速度為υ₇，第8s內(nèi)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₈，有：
 υ₇=a（7-3），
 qυ7B=m

υ72

R8

  ④
由圖可知，粒子要在第8s內(nèi)從NP邊離開(kāi)矩形區(qū)域，要滿足s₇＜L_NP＜s₇+R₈ ⑤
由以上各式聯(lián)立求解，可得：8m＜L_NP＜8.64m；  
（2）設(shè)在第1秒內(nèi)的t₀時(shí)刻釋放粒子，則第1s內(nèi)粒子在電場(chǎng)力的作用下加速時(shí)間為1-t₀，第1s內(nèi)的位移為s₀，第1s末的速度大小為υ₀，由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程有：s0=

1

2

a(1-t0)2  ⑥
 υ₀=a（1-t₀） ⑦
粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₀，有：qυ0B=m

υ 2 0

r0

  ⑧
要粒子從MQ邊界飛出，則r₀＞s₀⑨
由⑥～⑨式可得：t＞0.68s；
結(jié)合電場(chǎng)和磁場(chǎng)的周期性可得要粒子從MN邊飛出，粒子釋放的時(shí)刻t滿足：（2n+0.68）s＜t＜（2n+1）s   （n∈N）．
答：
（1）矩形區(qū)域PQ邊長(zhǎng)滿足的條件是：8m＜L_NP＜8.64m；
（2）若要粒子從MQ邊飛出，釋放粒子的時(shí)刻t應(yīng)滿足的條件是：（2n+0.68）s＜t＜（2n+1）s （n∈N）．

點(diǎn)評(píng)：分析粒子的受力情況，判斷其運(yùn)動(dòng)情況是解決本題的基礎(chǔ)，關(guān)鍵要畫(huà)出軌跡，運(yùn)用幾何關(guān)系分析相關(guān)的條件．