Question

有一質(zhì)量為m=0.2kg的小球，從水平軌道上的A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一段橫截面是圓形、內(nèi)部光滑的固定管道后離開(kāi)管道（小球半徑略小于管道內(nèi)徑），管道由呈拋物線狀的BC段、呈圓形的CDE和呈1/4圓形的EF段組成，C點(diǎn)、E點(diǎn)為連接點(diǎn)，E點(diǎn)與圓心O在同一水平線上，CO與水平方向夾角為30°，BC段的高度為h₁=0.2m，CDE和EF段的半徑均為R=0.3m，如圖所示．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，AB段長(zhǎng)度為l=0.5m，小球半徑和管道的內(nèi)徑均遠(yuǎn)小于上述高度或半徑，管壁厚度不計(jì)，所有管道與水平軌道在同一豎直面內(nèi)，重力加速度g=10m/s²．
（1）若要使小球恰能從管道的F端離開(kāi)，求小球從A點(diǎn)出發(fā)的最小速度；
（2）若小球以最小速度的2倍從A點(diǎn)出發(fā)，求小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度和經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)小球?qū)�管道的壓力�?br />（3）若要使小球落到離F端水平距離為0.5m的M點(diǎn)，求小球從A點(diǎn)出發(fā)的速度為多大？

Answer 1

分析：（1）小球恰能從管道的F端離開(kāi)，只要小球在管口F端時(shí)的速度為零即可，貴A-F過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可求解
（2）分別對(duì)A-C過(guò)程和A-D過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可求出C點(diǎn)和D點(diǎn)的速度，根據(jù)向心力公式可求得小球?qū)�軌道的壓�?br />（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得小球在F點(diǎn) 速度，對(duì)A-F過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理可求解

解答：解：（1）由于要求小球恰能從管道的F端離開(kāi)，只要小球在管口F端時(shí)的速度為零即可，設(shè)小球從A點(diǎn)出發(fā)的最小速度為v₁．
對(duì)小球在A-F過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=0-

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

7

m/s
（2）當(dāng)小球以最小速度的2倍（2

7

m/s）從A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，設(shè)小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)和D點(diǎn)的速度分別為v₂、v₃．
對(duì)小球在A-C過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmgxAB+mgh1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m(2v1)2
解得：v2=

30

2

m/s
對(duì)小球在A-D過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmgxAB+mg(h1+R-Rsin30°)=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m(2v1)2
又：小球在D點(diǎn)受到重力（mg）和軌道的彈力（F_N）作用，這兩個(gè)力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力．
由向心力公式得：FN-mg=m

v 2 3

R

由上述兩式解得：F_N=13N
所以小球?qū)�軌道的壓力大小�?3N，方向豎直向下
（3）要使小球落到M點(diǎn)，設(shè)小球從A點(diǎn)出發(fā)的速度為v₄，當(dāng)其到在F點(diǎn)時(shí)的速度為v₅．
由平拋運(yùn)動(dòng)可知：x=v₅t
2R=

1

2

gt2
又小球在A-F過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=

1

2

m

v

2 5

-

1

2

m

v

2 4

由上述三式得：v4=

327

6

m/s
答：（1）若要使小球恰能從管道的F端離開(kāi)，小球從A點(diǎn)出發(fā)的最小速度為

7

m/s；
（2）若小球以最小速度的2倍從A點(diǎn)出發(fā)，小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為

30

2

m/s
經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)小球?qū)�管道的壓力�?3N；
（3）若要使小球落到離F端水平距離為0.5m的M點(diǎn)，小球從A點(diǎn)出發(fā)的速度為

327

6

m/s

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，根據(jù)題目分段列式求解，能力要求較高，題目有一定的難度．