Question

8．已知某星球表面重力加速度大小為g₀，半徑大小為R，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．求：
（1）該星球質(zhì)量；
（2）該星球同步衛(wèi)星運行軌道距離星球表面的高度；
（3）該星球同步衛(wèi)星運行速度的大小．

Answer 1

分析 （1）由星球表面萬有引力等于重力可得星球質(zhì)量．
（2）由萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式，可得衛(wèi)星的離地高度．
（3）根據(jù)勻速圓周運動的線速度公式，即可求解．

解答 解：（1）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀
解得星球質(zhì)量為：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$      
（2）由$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）  
且GM=g₀R²
解得：h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R  
（3）由v=$\frac{2π}{T}$（R+h）   
解得：v=$\frac{2π}{T}$$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2π{g}_{0}{R}^{2}}{T}}$   
答：（1）該星球質(zhì)量$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$；
（2）該星球同步衛(wèi)星運行軌道距離星球表面的高度$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（3）該星球同步衛(wèi)星運行速度的大小$\root{3}{\frac{2π{g}_{0}{R}^{2}}{T}}$．

點評 本題首先明確在星球表面萬有引力等于重力，其次要會用萬有引力提供向心力的各種表達(dá)式，基礎(chǔ)題．