Question

經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發(fā)現了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當作孤立系統(tǒng)來處理．現根據對某一雙星系統(tǒng)的光學測量確定：該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是m兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．
（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算；
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：

N

（N＞1）．為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質．若不考慮其他暗物質的影響，請根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析：（1）根據對稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質引力和星星引力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解出暗物質的質量，再求解密度．

解答：解：
（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設運動的速率為v，得
m

v2

L 2

=

Gm2

L2

①
解得：
v=

Gm 2L

②
則周期為：T計算=

2π L 2

v

=πL

2L Gm

③
（2）根據觀測結果，星體的運動周期：
T觀測=

1

N

T計算＜T計算④
這種差異是由雙星內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一質量等于球內暗物質的總質量m′，位于中點O處的質點的作用相同．考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度v_觀測，則有
 m

v觀測2

L 2

=

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

⑤
解得：
v觀測=

G(m+4m′) 2L

⑥
因為在周長一定時，周期和速度成反比，由④式得 

1

v觀測

=

1

N

?⑦
把②⑥式代入⑦式得：
 m′=

N-1

4

m
設所求暗物質的密度為ρ，則：

4

3

π(

L

3

)3ρ=

N-1

4

m
解得：
ρ=

3(N-1)m

2πL3

．
答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算=πL

2L Gm

（2）該星系間這種暗物質的密度ρ=

3(N-1)m

2πL3

．

點評：本題關鍵找出向心力來源，然后根據牛頓第二定律列方程求解，要細心，不難．