Question

7．星際探測(cè)是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題，我國(guó)將發(fā)射探測(cè)器進(jìn)行星際探測(cè)．如圖，某探測(cè)器從空間的O點(diǎn)沿直線(xiàn)ON從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)月后與地球相遇于P點(diǎn)，再經(jīng)兩個(gè)月與地球相遇于Q點(diǎn)，已知引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)（12個(gè)月），忽略所有天體對(duì)探測(cè)器的影響，把地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)上述信息，估算出：
（1）OP之間的距離L；
（2）太陽(yáng)的質(zhì)量M．（答案用題中給出的已知量代號(hào)和數(shù)據(jù)表示）

Answer 1

分析 地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系式；
對(duì)于探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關(guān)系．由幾何知識(shí)得到：PQ對(duì)應(yīng)的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關(guān)系，即可聯(lián)立求得太陽(yáng)的質(zhì)量．

解答 解：（1）對(duì)探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則OP之間的距離為：
L=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{72}$，
（2）對(duì)地球：由太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供向心力，則有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$…①
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$…②
對(duì)探測(cè)衛(wèi)星從靜止開(kāi)始以加速度a作勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有：
PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{24}$…③
二個(gè)月為$\frac{1}{6}$T，則PQ所對(duì)的圓心角為：θ=60°…④
由幾何關(guān)系得：r=PQ
代入上式得：M=$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$
答：（1）OP之間的距離是$\frac{{aT}^{2}}{72}$；
（2）太陽(yáng)的質(zhì)量是$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力與勻變速運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵找出地球與探測(cè)器之間的時(shí)間關(guān)系，運(yùn)用幾何知識(shí)得到PQ與r的關(guān)系．