Question

18．周日游樂場里，小新在父母的陪伴下坐滑梯玩． 模型如圖所示，滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD組成，中間用很短的光滑圓弧槽BC連接．小新質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)，小新從斜槽的頂點(diǎn)A由靜止開始滑下，最后停在水平槽上的E點(diǎn)，由A到E的水平距離設(shè)為L．他與斜槽和水平槽間的動摩擦因數(shù)都為μ，A點(diǎn)與水平槽CD的高度差為h．
（1）求小新從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做的功和克服摩擦力做的功．
（2）假設(shè)你為設(shè)計師，請向小新父母說明，小新沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關(guān)．
（3）為了孩子的安全，要使小新沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過多少？

Answer 1

分析 （1）重力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置有關(guān)；根據(jù)動能定理列式求解克服摩擦力做的功．
（2）對全程根據(jù)動能定理列式求解水平槽上滑行的位移表達(dá)式進(jìn)行討論．
（3）對小孩在斜面上加速過程過程運(yùn)用動能定理列式，求解出最大速度的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）小新從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做功 W=mgh
小新由靜止開始滑下最后停在E點(diǎn)，在整個過程中克服摩擦力做功設(shè)為W₁，由動能定理得
   mgh-W₁=0
則得克服摩擦力做功為 W₁=mgh
（2）設(shè)斜槽AB與水平面的夾角為α，小新在斜槽上受重力mg，支持力F_N1和滑動摩擦力f₁
則   f₁=μmgcosα
小新在水平槽上受重力mg、支持力F_N2和滑動摩擦力f₂
    f₂=μmg
小新從A點(diǎn)由靜止滑下，最后停在E點(diǎn)，由動能定理得
    mgh-μmgcosα•$\frac{h}{sinα}$-μmg（L-h•cotα）=0 
解得 L=$\frac{h}{μ}$，它與角α無關(guān)
（3）小新沿滑梯滑下的過程中，通過B點(diǎn)的速度最大，顯然，傾角α越大，通過B點(diǎn)的速度越大，設(shè)傾角為α₀時有最大速度v，由動能定理得
   mgh-μmgcosα₀•$\frac{h}{sin{α}_{0}}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得最大傾角 α₀=arccot（$\frac{2gh-{v}^{2}}{2μgh}$）
答：
（1）小新從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)的過程中，重力做的功為mgh，克服摩擦力做的功也為mgh；
（2）小新沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關(guān)，證明如上；
（3）要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過arccot（$\frac{2gh-{v}^{2}}{2μgh}$）．

點(diǎn)評 本題中小孩從A到E過程中克服摩擦力做功等于μmgL，可以作為結(jié)論記住，根據(jù)該原理還可以測量動摩擦因數(shù)．