Question

15．如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為m_A═2kg、m_B=1kg的A、B小球由長(zhǎng)為L(zhǎng)=4m的輕桿組成系統(tǒng)，水平面上的M、N兩點(diǎn)間是距離為x_MN=5m的粗糙平面，其余部分表面光滑，小球A、B與MN面的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5、μ₂=0.2．最初，球B靜止在M點(diǎn)．兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)輕桿質(zhì)量，現(xiàn)對(duì)B球施加一水平向右的拉力F=8N，取g=10m/s²，求：
（1）A球剛經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度大�。�
（2）若當(dāng)A球經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)立即撤去F，最后A、B兩球靜止，求B球從開(kāi)始到靜止所需時(shí)間以及B球發(fā)生的位移．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用動(dòng)能定理求A球剛經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度．
（2）先根據(jù)動(dòng)能定理求出B球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度，由位移等于平均速度乘以時(shí)間，求出時(shí)間．再由動(dòng)能定理求出A繼續(xù)在MN上滑行的距離，用平均速度求出時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)A球剛經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₁；
根據(jù)動(dòng)能定理得：
   （F-μ₂m_Bg）L=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$-0
解得，v₁=4m/s
（2）設(shè)B從M運(yùn)動(dòng)L距離的時(shí)間為t₁，則 L=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
解得 t₁=2s
假設(shè)B球能到達(dá)N點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₂；根據(jù)動(dòng)能定理得
    （-μ₁m_Ag-μ₂m_Bg）（x_MN-L）=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$
解得 v₂=2$\sqrt{2}$m/s
B球從撤去F到運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間為t₂，則
   x_MN-L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$
解得 t₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$s
設(shè)B球從N點(diǎn)向右能滑行的距離為x．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₃．根據(jù)動(dòng)能定理得
-μ₁m_Agx=0-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{2}^{2}$
解得 x=1.2m
由x=$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{3}$得 t₃=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$s
故B球從開(kāi)始到靜止所需時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃=3$+\frac{7}{10}\sqrt{2}$（s）
位移為 x_總=x_MN+x=6.2m
答：
（1）A球剛經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度大小是4m/s．
（2）B球從開(kāi)始到靜止所需時(shí)間是（3$+\frac{7}{10}\sqrt{2}$）s，位移為6.2m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清系統(tǒng)在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，分段運(yùn)用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式研究．要注意兩個(gè)小球所受的摩擦力不同．