Question

整個(gè)裝置圖如圖所示，在光滑絕緣水平面上固定一豎直的表面光滑的檔板，ABCD為檔板與水平面的交線，其中ABC為直線，CD為半徑R=4.0cm的圓弧，C點(diǎn)為AC直線與CD圓弧的切點(diǎn)．整個(gè)裝置置于真空中兩有界的與水平面平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，MN為兩電場(chǎng)的分界面與水平面的交線，且MN垂直AB，在MN的左側(cè)有一沿AB方向均強(qiáng)大小為E₁=5.0×105V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在MN的右側(cè)有一沿MN方向均強(qiáng)大小為E₂=1.0×10⁷V/M勻強(qiáng)電場(chǎng)．質(zhì)量m₂=4.0×10^-2kg的不帶電金屬小球靜置于C點(diǎn)，電量為q=+2.0×10^-6C、質(zhì)量為m₁=4.0×10^-2kg的小球Q自A點(diǎn)靜止釋放（P、Q兩金屬球的大小完全相同）．已知AB=0.5m，BC=1.20m，cos10°=0.985，

10

=π，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期公式為T=2π

m k

式中m為振子的質(zhì)量，k是回復(fù)力與位移大小的比值且為常數(shù)．試求P、Q兩球在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處第二次相碰（不計(jì)碰撞時(shí)機(jī)械能損失和電荷間的相互作用力，結(jié)果取三位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：小球Q由靜止開(kāi)始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得到達(dá)B點(diǎn)的速度．小球Q進(jìn)入電場(chǎng)后作勻速運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)的P球發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式求出碰后兩球的速度．碰后Q球返回，先沿CB勻速運(yùn)動(dòng)進(jìn)入E₁電場(chǎng)中，開(kāi)始作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度為零后又反向加速，從B點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)E₂．P球被碰后沿CD弧運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)圓心O的連線與OP夾角θ．可證明得到P球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，P第一次到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為

1

4

T．再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答：解：小球Q由靜止開(kāi)始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)B處時(shí)速度為υ₀
則根據(jù)動(dòng)能定理得：qE₁

.

AB

=

1

2

m1

v

2 0

∴v₀=

2qE1 . AB m1

代入解得，v₀=10m/s
Q球進(jìn)入電場(chǎng)E₂后作勻速運(yùn)動(dòng)，與靜止在C點(diǎn)的P球發(fā)生彈性碰撞，碰后P、Q兩球電量等量分配且
由動(dòng)量守恒得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂          ①
又 

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

              ②
解①、②可得v1=

m1-m2

m1+m2

v₀=-6m/s，v2=

2m1v0

m1+m2

=4m/s
即碰后Q球返回，先沿CB勻速運(yùn)動(dòng)進(jìn)入E₁電場(chǎng)中，開(kāi)始作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度為零后又反向加速，運(yùn)動(dòng)到B以v₁=6m/s從B點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)E₂　由C到B過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=

CB

v1

=

1.2

6

=0.2s    
在E₁中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，則t₂=

2v1

a

，a=

qE1

2m1

聯(lián)立解得，t₂=0.4s　　　　　　　　　　
P球被碰后沿CD弧運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)且和圓心O的連線與OP夾角為θ
據(jù)動(dòng)能定理

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

qE2R（1-cosθ）
∴cosθ=1-

m1 v 2 2

qE2R

=0.992＞0.985  則    θ＜10°
小球在圓弧上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，豎直方向上受力平衡，水平方向上受力如圖，電場(chǎng)力
沿圓弧切線方向的分為F=

1

2

qE2sinθ
此力為使小球P振動(dòng)的回復(fù)力  

∵θ＜10°∴sinθ≈θ≈

x

R

∴F=-

1

2R

qE2x式中k=

qE2

2R

，x為小球P偏離平衡位置的位移，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與x的方向相反       
故P球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為T=2π

mk k

=2π

2Rmk qE2

=0.8s
P第一次到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為

T

2

=0.4s
Q球回到B處時(shí)，P在水平直線CB上向左勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△t=t₁+t₂-

T

2

=0.04s
P球在水平直線上向左運(yùn)動(dòng)的距離為L(zhǎng)₁=v₂△t=0.16m        
設(shè)再經(jīng)t₃，PQ兩球相遇
∴BC-L₁=（v₁+v₂）t₃
解得t₃=0.104s
相遇點(diǎn)距A為  S=AB-v₁t₃=0.5-6×0.104=1.12m
即距A球?yàn)?.12m處第二次相遇．
答：P、Q兩球距A球?yàn)?.12m處第二次相遇．

點(diǎn)評(píng)：本題過(guò)程十分復(fù)雜，要有足夠的耐心分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，采用程序法列式求解，綜合性很強(qiáng)，關(guān)鍵是證明P球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．