Question

如圖4-3-7所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°，一條長為L的輕繩一端固定在圓錐體的頂點O，另一端連著一個質量為m的質點，質點分別以速率v₁=和v₂=繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動，求輕繩中的拉力.

圖4-3-7

Answer 1

解析：將重力mg和加速度a=v²/r=v²/Lsinθ分解到x軸和y軸上，如圖4-3-8所示.由牛頓第二定律可得：

圖4-3-8

x軸：T-mgcosθ=masinθ                                                          ①

y軸：mgsinθ-N=macosθ                                                         ②

得N=mgsinθ-mv²cosθ/Lsinθ

顯然，當線速度增大時，N會減小.設線速度為v₀時，N=0，此時輕繩與豎直方向的夾角仍為30°，有v₀=

（1）當v₁=＜v₀時，由①式得

T₁=mgcosθ+mv²/L=1.03mg.

（2）當v₂=＞v₀時，質點已離開錐面，仍繞軸線做勻速圓周運動.設輕繩與軸線間的夾角為α（α＞θ），此時質點僅受重力mg和輕繩拉力T₂的作用.

有水平方向：T₂sinα=mv₂²/Lsinα                                                  ③

豎直方向：T₂cosα-mg=0                                                        ④

聯(lián)立③④得 T₂= mg/cosα=2mg.

答案：當v₁=時，拉力為1.03mg；當v₂=時，拉力為2mg.