Question

10．如圖所示，已知電源內(nèi)阻為r，滑動(dòng)變阻器的總阻值為R．M、N為水平放置的兩塊平行金屬板，相距為d，板間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．今有帶負(fù)電的電量為q、質(zhì)量為m的粒子，從左端兩板間的中央水平射入板間，粒子重力不計(jì)，求：
（1）S斷開(kāi)時(shí)，若帶電粒子恰好垂直打在金屬板上，則其入射速度v多大？
（2）S斷開(kāi)時(shí)，粒子以（1）中的入射速度v射入金屬板間，求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？
（3）S閉合時(shí)，滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)觸頭P置于ab的中點(diǎn)，粒子仍以（1）中的入射速度v射入金屬板間，恰在兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)．此電源的電動(dòng)勢(shì)E是多少？

Answer 1

分析 （1）S斷開(kāi)時(shí)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子垂直打在金屬板上時(shí)，軌跡半徑為$\frac{1}{2}$d，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合洛倫茲力公式即可求解v；
（2）先求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）S閉合時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力等于電場(chǎng)力，再由U=Ed、電阻與電壓的關(guān)系，即可求解電源的電動(dòng)勢(shì)．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子垂直打在金屬板上時(shí)，由幾何關(guān)系可知，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為：$R=\fracew4kq4w{2}$
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：$qvB=m\frac{{{v_{\;}}^2}}{R}$
解得初速度為：$v=\frac{qBd}{2m}$．
（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$
根據(jù)題意可知帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了$\frac{1}{4}$個(gè)圓周，所以有：t=$\frac{1}{4}T$
解得：t=$\frac{πm}{2qB}$
（3）閉合后回路中的總電流為：$I=\frac{E}{R+r}$
兩板間的電壓為：$U=\frac{IR}{2}=\frac{ER}{2（R+r）}$
因?yàn)閯蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，有：$qvB=q\frac{U}ica4kqu$
由以上幾式解得電源電動(dòng)勢(shì)為：$E=\frac{{（R+r）q{B^2}{d^2}}}{mR}$
答：（1）其入射速度v為$\frac{qBd}{2m}$．
（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}$．
（3）此電源的電動(dòng)勢(shì)E是 $\frac{（R+r）q{B}^{2}4mumaqg^{2}}{mR}$．

點(diǎn)評(píng) 此題關(guān)鍵要掌握磁場(chǎng)中粒子由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電路中正確運(yùn)用閉合電路歐姆定律．