Question

4．為了實(shí)現(xiàn)登月計(jì)劃，先要測(cè)算地月之間的距離．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，在地面附近物體受到地球的萬(wàn)有引力近似等于物體在地面上的重力，又知月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G．試求：
（1）地球的質(zhì)量為多少？
（2）地球到月球之間的距離約為多少？（用已知量表示）

Answer 1

分析 根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬(wàn)有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式求出地球的質(zhì)量．
研究月球繞地球運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出軌道半徑也就是地月之間的距離．

解答 解：（1）根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬(wàn)有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）研究月球繞地球運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：
由G$\frac{mM}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，
得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
再根據(jù)GM=gR²，得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
（2）地月之間的距離為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問(wèn)題是考試中常見(jiàn)的方法．