Question

16．如圖所示，光滑軌道的DP段為水平軌道，PQ段為半徑是R的豎直半圓軌道，半圓軌道的下端與水平的軌道的右端相切于P點(diǎn)，一輕質(zhì)彈簧左端A固定，另一端拴接一個(gè)質(zhì)量為m的小球B，質(zhì)量也為m的小球C靠在B球的右側(cè)，現(xiàn)用外力作用在C上，使彈簧被壓縮了一定距離（彈簧仍在彈性限度內(nèi)）．這時(shí)小球靜止于距離P端3R的水平軌道上，若撤去外力，C球運(yùn)動(dòng)到軌道的最高點(diǎn)Q后又恰好落回到原出發(fā)點(diǎn)．已知重力加速度為g．求
（1）小球C運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能E_p是多少？

Answer 1

分析 （1）小球離開(kāi)Q點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得小球在Q點(diǎn)的速度的大小，從而由牛頓第二定律和牛頓第三定律結(jié)合可以求得C球到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能作用下，B、C兩球獲得動(dòng)能，因此借助平拋運(yùn)動(dòng)求出C球拋出速度，再由機(jī)械能守恒算出小球C被彈出的速度，從而根據(jù)能量守恒，確定撤去外力時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)Q時(shí)的速度為v，由平拋規(guī)律有：
$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
3R=vt
聯(lián)立兩式得：$v=\frac{3}{2}\sqrt{gR}$
小球C在最高點(diǎn)，由動(dòng)力學(xué)方程得：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：${F_N}=\frac{5}{4}mg$
根據(jù)牛頓第三定律得：球C運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 F_N′=${F}_{N}=\frac{5}{4}mg$
（2）設(shè)小球C離開(kāi)小球B時(shí)的速度為v₀，由機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)脫離，則由能量守恒有：${E}_{P}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{0}}^{2}$
聯(lián)立上述各式得：${E}_{P}=\frac{25}{4}mgR$
答：（1）小球C運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為$\frac{5}{4}$mg．
（2）撤去外力前的瞬間，彈簧的彈性勢(shì)能E_P是$\frac{25}{4}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了能量的轉(zhuǎn)化和守恒，同時(shí)還有機(jī)械能守恒和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、能量守恒定律即可正確解題．