Question

如圖，光滑水平面上帶電量為q、質(zhì)量為m的小球P靠在一勁度系數(shù)為k的輕彈簧的右端．現(xiàn)將彈簧向左壓縮長度為L后自A點靜止釋放小球P，小球P運動到B處時恰與靜止的不帶電的相同小球Q相碰并粘在一起，進入水平向右的勻強電場中．C點右側(cè)是垂直紙面向里的勻強磁場，小球運動到C點時，電場突然變?yōu)樨Q直向上，但大小不變．此后物體開始在豎直平面內(nèi)作圓周運動，到達最高點時撤去電場，小球正好又落回B點．已知AB=BC=L，彈簧的彈性勢能與其形變量x的關(guān)系是E_p=

1

2

kx2，式中k為彈簧的勁度系數(shù)．求：
（1）判斷小球P的電性和在B點碰后的共同速度；
（2）電場強度E和磁感應(yīng)強度B的大��；
（3）若把小球P從A到B的過程視為簡諧運動，其周期T=2π

m k

，則小球從A出發(fā)最終落回到B點的總時間．

Answer 1

分析：（1）小球進入磁場后在豎直平面內(nèi)做圓周運動，知小球受重力和電場力平衡，從而確定出小球的電性．根據(jù)能量守恒，求出小球剛離開彈簧時的速度，再根據(jù)動量守恒定律求出和B碰后的共同速度．
（2）根據(jù)進入磁場后，重力與電場力平衡，求出電場強度的大��；碰撞后的結(jié)合體做圓周運動到最高點，撤去電場，將做平拋運動，根據(jù)水平位移和速度，求出運動的時間，從而求出豎直的位移（直徑），根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的半徑公式，求出磁感應(yīng)強度的大�。�
（3）小球從A出發(fā)最終落回到B點的過程中可分為四個過程，第一段A到B做簡諧運動，第二段B到C做勻加速直線運動，第三段圓周運動（半圈），第四段平拋運動，分別求出四段時間，再求和．

解答：解：（1）小球進入磁場后做圓周運動，知重力和電場力平衡．則電場力的方向豎直向上，該小球的電性為正電．由 能量守恒得：

1

2

kL2=

1

2

mv2 
解得 v=

kL2 m

由動量守恒得，碰撞后的共同速度為v′．
mv=2mv′v′=

kL2 4m

（2）2mg=qE     則E=

2mg

q

B到C段的加速度a=

qE

2m

=g
     v12-v′2=2aL    
撤去電場后做平拋運動，平拋運動的時間t=

L

v1

     2R=

1

2

gt2
帶電粒子在磁場中運動時qvB=m

v2

R

B=

mv1

qR

=

4m

gqL2

(2gL+

kL2

4m

)

3

2

（3）第一段簡諧運動的時間t1=

T

4

=

π

2

m k

第二段勻加速直線運動的時間t2=

v1-v′

a

=

2gL+ kL2 4m - kL2 4m

g

 第三段在磁場中運動的時間t3=

T′

2

         T′=

2πm

qB

所以t3=

πm

qB

=

πm

4m gL2 (2gL+ kL2 4m ) 3 2

第四段做平拋運動的時間t4=

L

v1

=

L

2gL+ kL2 4m

小球從A出發(fā)最終落回到B點的總時間
t=t₁+t₂+t₃+t₄=

π

2

m k

+

2gL+ kL2 4m - kL2 4m

g

+

πm

4m gL2 (2gL+ kL2 4m ) 3 2

+

L

2gL+ kL2 4m

點評：解決本題的關(guān)鍵搞清楚整個過程的運動，整個過程有簡諧運動、勻加速直線運動、圓周運動、平拋運動．