Question

11．飛船沿半徑為R的圓形軌道3繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)，若飛船要返回地面，可在軌道上某點(diǎn)P處將速率降到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切．已知地球的質(zhì)量為M，半徑為R₀，引力為G．求：
（1）飛船在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)間經(jīng)過(guò)P點(diǎn)處的加速度大�。�
（2）飛船由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）飛船在P點(diǎn)時(shí)由萬(wàn)有引力產(chǎn)生加速度，根據(jù)萬(wàn)有引力公式求解；
（2）從P到B經(jīng)過(guò)半個(gè)周期，根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解在橢圓軌道上的周期從而求得時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力產(chǎn)生加速度，根據(jù)牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$
可得飛船在P點(diǎn)的加速度為：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）根據(jù)題意得橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為：r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$，
因?yàn)閞=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，
解得：T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
則飛船由A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
答：（1）飛船在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)間經(jīng)過(guò)P點(diǎn)處的加速度大小為$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）飛船由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需要的時(shí)間為$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$．

點(diǎn)評(píng) 由題目的描述，飛船由P點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間應(yīng)是橢圓軌道的半個(gè)周期．關(guān)鍵掌握開(kāi)普勒第三定律，并能靈活運(yùn)用