Question

【題目】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX﹣3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．將兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，（如圖）所示．引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v＝2.7×105 m/s，運(yùn)行周期T＝4.7π×104s，質(zhì)量m1＝6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G＝6.67×10﹣11Nm2/kg2，ms＝2.0×103 kg）

Answer 1

【答案】（1）(3)有可能是黑洞

【解析】

試題（1）設(shè)A、B圓軌道的半徑分別為，由題意知，A、B的角速度相等，為，

有：，，又

設(shè)A、B之間的距離為r，又

由以上各式得，①

由萬有引力定律得

將①代入得

令，比較可得②

（2）由牛頓第二定律有：③

又可見星的軌道半徑④

由②③④得

（3）將代入得⑤

代入數(shù)據(jù)得⑥

設(shè)，（n＞0）將其代入⑥式得，⑦

可見，的值隨n的增大而增大，令n=2時(shí)得⑧

要使⑦式成立，則n必須大于2，即暗星B的質(zhì)量必須大于，由此得出結(jié)論，暗星B有可能是黑洞。