Question

9．一個半徑為R的玻璃半球，如圖甲所示平放在水平桌面上（上表面水平）若一道激光從距O點距離為$\frac{{\sqrt{3}R}}{3}$的E點與上表面成45°射入，則部分光線能從O點右側(cè)的F射出，F(xiàn)點離O點的距離也為$\frac{{\sqrt{3}R}}{3}$，且射出時與上表面也成45°．現(xiàn)改用一束豎直光垂直照射玻璃半球（如圖乙），結(jié)果在水平桌面上出現(xiàn)了一個亮斑，求該亮斑的半徑．

Answer 1

分析 依題意畫出開始時的光路圖，結(jié)合折射率的定義求出折射率；激光束從半球上表面垂直射入玻璃半球，恰能從球面射出，在球面上恰好發(fā)生全反射，作出光路圖．根據(jù)幾何知識求出臨界角的正弦，進而求得該亮斑的半徑．

解答 解：激光由E點射入時，由對稱性可知，在玻璃磚內(nèi)經(jīng)最低點G．
從E點射入時，入射角45°，
折射角：$tanβ=\frac{OE}{OG}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}R}{R}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
得β=30°
設(shè)玻璃磚折射率為n，則$n=\frac{sin45°}{sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
當(dāng)光垂直照射玻璃半球，全反射臨界角為C，
則$sinC=\frac{1}{n}$，則C=45°
則：HO=Rsin45°
設(shè)折射光線打在桌面上I點，設(shè)IG的長度為r，由幾何關(guān)系可得：
r+（R-Rcos45°）=Rsin45°
亮斑的半徑r=（$\sqrt{2}$-1）R
答：該亮斑的半徑是（$\sqrt{2}$-1）R．

點評 該題是幾何光學(xué)問題，要正確作出光路圖，確定入射角和折射角，并靈活運用折射定律是解題的關(guān)鍵．