Question

19．如圖所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內，在水平x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應強度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經x軸上的M點進入復合場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開復合場區(qū)，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸夾角為θ．不計空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）電場強度E的大小和方向；
（2）小球從A點拋出時初速度v₀的大��；
（3）A點到x軸的高度h．

Answer 1

分析 小球從A到M做平拋運動，從M到N做勻速圓周運動，說明重力與電場力平衡，洛倫茲力提供向心力．由幾何知識求得半徑，進而求出速度，并機械能守恒定律求出A點到x軸的高度h．

解答 解：（1）小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，說明電場力和重力平衡，有
 qE=mg，得到E=$\frac{mg}{q}$，電強度方向豎直向上                  
（2）小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，∠MO′P=θ，
如圖所示．設半徑為r，由幾何關系知$\frac{L}{2r}=sinθ$
設小球做圓周運動的速率為v，有$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{r}$
由速度的合成與分解知$\frac{{v}_{0}}{v}=cosθ$
得：${v}_{0}=\frac{qBL}{2mtanθ}$
（3）設小球到M點時的豎直分速度為v_y，v_y=v₀tanθ
由勻變速直線運動規(guī)律${{v}_{y}}^{2}=2gh$
得$h=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$
答：（1）電場強度E的大小為$\frac{mg}{q}$，電強度方向豎直向上；
（2）小球從A點拋出時初速度v₀的大小為$\frac{qBL}{2mtanθ}$；
（3）A點到x軸的高度h為$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場中運動問題，磁場中圓周運動處理的基本方法是畫軌跡，重力場中也可運用運動的合成和分解．