Question

【題目】在科幻電影《流浪地球》中，由于太陽極速衰老膨脹即將吞噬地球，所以人類要把地球“推”離太陽系，而要想實(shí)現(xiàn)這一步，首先要讓地球停止自轉(zhuǎn)。人類采用的辦法是在赤道上假設(shè)若干臺大功率“轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)”，利用核聚變反應(yīng)中釋放的能量將燃燒物質(zhì)以極高的速度拋射到太空，利用“反沖力”使地球轉(zhuǎn)動(dòng)逐漸減慢。已知每臺“轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)”在單位時(shí)間內(nèi)能將質(zhì)量為m0的物質(zhì)以相對地球速度v拋出，地球質(zhì)量為，半徑為，自轉(zhuǎn)角速度為。

（1）如圖所示，大圓表示地球赤道，彎曲箭頭表示地球自轉(zhuǎn)方向，小圓圈表示轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)的位置。要想獲得最大的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，使減速效果最好，請你用箭頭在途中A點(diǎn)標(biāo)出燃燒物質(zhì)的拋射方向___________。

（2）若轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)都按照產(chǎn)生最大力矩方向拋射物質(zhì)，求每臺轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)獲得的平均反沖力F的大小___________。（說明：地球減速是個(gè)漫長的過程，但在研究反沖力時(shí)，可認(rèn)為地球自轉(zhuǎn)速度不變）

（3）為了計(jì)算在赤道上要假設(shè)多少臺“轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)”，需用到與剛體（理想化模型，即形狀和大小完全不變的物體）轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)的物理知識。雖然我們在高中階段沒有學(xué)習(xí)關(guān)于剛體的動(dòng)力學(xué)知識，但是我們可以通過“類比”的方法來認(rèn)識它。

a．我們學(xué)過質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：。相應(yīng)地，在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，有 ，其中，M表示力矩，表征外力對剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果；I為剛體的“轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”，與平動(dòng)中的質(zhì)量m相對應(yīng)，表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。對于質(zhì)量均勻分布的剛體而言，，m為球體質(zhì)量，R為球體半徑，地球可視為質(zhì)量分布均勻的剛體。到目前為止，你可能還不知道所代表的物理含義，但它也可以表示為某個(gè)物理量變化率的形式，與平動(dòng)中的加速度a對應(yīng)。請你利用所學(xué)知識并結(jié)合題目信息，猜想“”所代表的物理量，簡要寫出猜想理由并說明所代表的物理量的含義___________。

b．若要求在T時(shí)間內(nèi)停止自轉(zhuǎn)，求赤道上至少要安裝轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)的個(gè)數(shù)N___________。

Answer 1

【答案】圖中沿切線向下方向。 猜想“”代表的物理量是角速度，猜想理由是“利用等號兩邊單位制相同”。所代表的物理量的含義是：單位時(shí)間內(nèi)角速度變化的變化量。（即角加速度）

【解析】

（1）燃燒物質(zhì)在A點(diǎn)的拋射方向沿切線向下方向，如圖；

（2）因?yàn)槊颗_“轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)”在單位時(shí)間內(nèi)能將質(zhì)量為m0的物質(zhì)以相對地球速度v拋出，則由動(dòng)量定理：，

解得 ；

（3）a. 猜想“”代表的物理量是角速度，猜想理由是“利用等號兩邊單位制相同”。所代表的物理量的含義是：單位時(shí)間內(nèi)角速度變化的變化量，（即角加速度）。

b.根據(jù) ，

其中；

；

；

聯(lián)立解得